Страница 69 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Что называется расстоянием от точки до плоскости?

2. Как можно вычислить расстояние от точки с заданными координатами до плоскости, заданной уравнением?

Что называется расстоянием от точки до плоскости?

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость. Если точка принадлежит плоскости, то расстояние от нее до плоскости считается равным нулю.

Пусть дана точка $M$ и плоскость $\alpha$. Проведем через точку $M$ прямую, перпендикулярную плоскости $\alpha$. Точку пересечения этой прямой с плоскостью $\alpha$ назовем $H$. Точка $H$ называется ортогональной проекцией точки $M$ на плоскость $\alpha$. Длина отрезка $MH$ и есть искомое расстояние.

Ответ: Расстоянием от точки до плоскости является длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной плоскости.

2. Как можно вычислить расстояние от точки с заданными координатами до плоскости, заданной уравнением?

Если в трехмерном пространстве задана точка $M$ с координатами $(x_0, y_0, z_0)$ и плоскость $\alpha$ своим общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, то расстояние $d$ от точки $M$ до плоскости $\alpha$ можно вычислить по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

где:

• $x_0, y_0, z_0$ — координаты точки.

• $A, B, C, D$ — коэффициенты из уравнения плоскости.

• $|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|$ — модуль значения, которое получается при подстановке координат точки в левую часть общего уравнения плоскости.

• $\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$ — длина нормального вектора $\vec{n} = (A, B, C)$ плоскости.

Таким образом, для вычисления расстояния нужно подставить координаты точки в уравнение плоскости, взять полученное значение по модулю и разделить на длину нормального вектора плоскости.

Ответ: Расстояние от точки с координатами $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости, заданной уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, вычисляется по формуле $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

11.1. Найтите расстояние от точки $B_0(1; 1; 1)$ до плоскости, заданной уравнением:

а) $x + y = 1$;

б) $x + y + z = 1$.

Дано:

Точка $B_0(1; 1; 1)$

а) Плоскость, заданная уравнением: $x + y = 1$

б) Плоскость, заданная уравнением: $x + y + z = 1$

Найти:

Расстояние от точки $B_0$ до каждой из заданных плоскостей.

Решение:

Расстояние $d$ от точки $M(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости, заданной общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

а)

Найдем расстояние от точки $B_0(1; 1; 1)$ до плоскости $x + y = 1$.

Сначала приведем уравнение плоскости к общему виду $Ax + By + Cz + D = 0$:

$1 \cdot x + 1 \cdot y + 0 \cdot z - 1 = 0$

Коэффициенты уравнения плоскости: $A=1$, $B=1$, $C=0$, $D=-1$.

Координаты точки: $x_0=1$, $y_0=1$, $z_0=1$.

Подставим значения в формулу расстояния:

$d = \frac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{|1 + 1 - 1|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{|1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$d = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б)

Найдем расстояние от точки $B_0(1; 1; 1)$ до плоскости $x + y + z = 1$.

Приведем уравнение плоскости к общему виду $Ax + By + Cz + D = 0$:

$1 \cdot x + 1 \cdot y + 1 \cdot z - 1 = 0$

Коэффициенты уравнения плоскости: $A=1$, $B=1$, $C=1$, $D=-1$.

Координаты точки: $x_0=1$, $y_0=1$, $z_0=1$.

Подставим значения в формулу расстояния:

$d = \frac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|1 + 1 + 1 - 1|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{|2|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$d = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

уравнением: а) $x + y = 1$, б) $x + y = -1$.

11.2. Для единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $A_1$ до плоскости $ABC_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный, следовательно, длина его ребра $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $A_1$ до плоскости $ABC_1$, обозначим его $h$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $D$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ вдоль ребра $DC$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$.

Поскольку куб единичный, его ребро равно 1. В этой системе координат необходимые нам вершины будут иметь следующие координаты:

$A(1, 0, 0)$

$B(1, 1, 0)$

$C_1(0, 1, 1)$

$A_1(1, 0, 1)$

Уравнение плоскости в общем виде записывается как $ax + by + cz + d = 0$, где $\vec{n} = (a, b, c)$ — вектор нормали к плоскости.

Чтобы найти уравнение плоскости $ABC_1$, найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC_1}$.

Найдем их координаты:

$\vec{AB} = (1-1, 1-0, 0-0) = (0, 1, 0)$

$\vec{AC_1} = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $ABC_1$ перпендикулярен векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AC_1}$, поэтому его можно найти как их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) = 1\mathbf{i} + 0\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (1, 0, 1)$.

Таким образом, вектор нормали $\vec{n}=(1, 0, 1)$. Уравнение плоскости имеет вид $1 \cdot x + 0 \cdot y + 1 \cdot z + d = 0$, или $x + z + d = 0$.

Для нахождения коэффициента $d$ подставим в это уравнение координаты любой точки, принадлежащей плоскости, например, точки $A(1, 0, 0)$:

$1 + 0 + d = 0 \Rightarrow d = -1$.

Следовательно, уравнение плоскости $ABC_1$ имеет вид: $x + z - 1 = 0$.

Расстояние $h$ от точки $M_0(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $ax + by + cz + d = 0$ вычисляется по формуле:

$h = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Подставим в формулу координаты точки $A_1(1, 0, 1)$ и коэффициенты уравнения плоскости $x + z - 1 = 0$ (где $a=1, b=0, c=1, d=-1$):

$h = \frac{|1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 - 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{|1 + 0 + 1 - 1|}{\sqrt{1 + 0 + 1}} = \frac{|1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$h = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.

11.3. Для правильной четырехугольной пирамиды SABCD стороны основания и высота которой равны 1 см, найдите расстояние от точки B до плоскости SAC.

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида

Сторона основания $a = AB = BC = CD = DA = 1$ см

Высота $h = SO = 1$ см (где O - центр основания)

Найти:

Расстояние от точки B до плоскости SAC, $\rho(B, (SAC))$

Решение:

По определению, расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Так как пирамида SABCD правильная, ее основание ABCD является квадратом, а высота SO опущена в центр этого квадрата — точку пересечения диагоналей O.

Рассмотрим основание пирамиды. Диагонали квадрата AC и BD взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Следовательно, отрезок $BO$ перпендикулярен отрезку $AC$ ($BO \perp AC$).

Высота пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания (ABCD) по определению. Это означает, что SO перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $SO \perp BD$, а значит и $SO \perp BO$.

Таким образом, прямая BO перпендикулярна двум пересекающимся прямым (AC и SO), лежащим в плоскости SAC.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, $BO \perp (SAC)$.

Это означает, что длина отрезка BO и есть искомое расстояние от точки B до плоскости SAC.

Найдем длину BO. Диагональ BD квадрата ABCD со стороной $a=1$ см находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABD:

$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам, поэтому:

$BO = \frac{1}{2} BD = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Ответ: расстояние от точки B до плоскости SAC равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.