Страница 74 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

20. Для правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, стороны основания которой равны 1 см, а высота равна 2 см, найдите расстояние от вершины C до плоскости SAB:

A) $\sqrt{\frac{6}{11}}$ см;

B) $\sqrt{\frac{6}{13}}$ см;

C) $\sqrt{\frac{6}{19}}$ см;

D) $\sqrt{\frac{12}{19}}$ см.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$
Сторона основания $a = 1$ см
Высота пирамиды $h = SO = 2$ см

Найти:

Расстояние от вершины $C$ до плоскости $SAB$, обозначим его $d$.

Решение:

Для нахождения расстояния от точки до плоскости воспользуемся методом объемов. Рассмотрим тетраэдр $SABC$. Его объем $V$ можно вычислить двумя способами:

1. Приняв за основание треугольник $ABC$, а за высоту – высоту пирамиды $h$.
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h$

2. Приняв за основание грань $SAB$, а за высоту – искомое расстояние $d$ от вершины $C$ до плоскости $SAB$.
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{SAB} \cdot d$

Приравняв оба выражения для объема, получим:
$\frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot S_{SAB} \cdot d$
Отсюда, $d = \frac{S_{ABC} \cdot h}{S_{SAB}}$

Теперь найдем площади треугольников $ABC$ и $SAB$.

1. Найдем площадь треугольника $ABC$.
В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$ см. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $\frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$. Таким образом, $\angle ABC = 120^\circ$.
Площадь треугольника $ABC$ можно найти по формуле:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)$
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см$^2$.

2. Найдем площадь грани $SAB$.
Грань $SAB$ – это равнобедренный треугольник с основанием $AB = 1$ см. Для нахождения его площади нам нужна высота (апофема пирамиды) $SK$, проведенная из вершины $S$ к стороне $AB$.
Пусть $O$ – центр основания (и проекция вершины $S$ на основание). $SO=h=2$ см.В правильном шестиугольнике отрезок $OK$, соединяющий центр с серединой стороны $AB$, является апофемой шестиугольника. Длина апофемы правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $OK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$OK = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$. По теореме Пифагора:
$SK^2 = SO^2 + OK^2$
$SK^2 = 2^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 4 + \frac{3}{4} = \frac{16+3}{4} = \frac{19}{4}$
$SK = \sqrt{\frac{19}{4}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$ см.
Теперь найдем площадь треугольника $SAB$:
$S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{19}}{2} = \frac{\sqrt{19}}{4}$ см$^2$.

3. Найдем искомое расстояние $d$.
Подставим найденные значения в формулу для $d$:
$d = \frac{S_{ABC} \cdot h}{S_{SAB}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2}{\frac{\sqrt{19}}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{19}}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{19}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$
Чтобы привести ответ к виду, предложенному в вариантах, внесем 2 под знак корня:
$d = \frac{\sqrt{4}\sqrt{3}}{\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{19}} = \sqrt{\frac{12}{19}}$ см.

Этот результат соответствует варианту D).

Ответ: $D) \sqrt{\frac{12}{19}}$ см.