Страница 76 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите, что высота цилиндра равна длинам образующих боковой поверхности цилиндра.

Докажите, что осевым сечением цилиндра является прямоугольник.

Докажите, что высота цилиндра равна длинам образующих боковой поверхности цилиндра.

Решение:

По определению, прямой круговой цилиндр — это геометрическое тело, которое образовано вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон как оси. Другое определение гласит, что это тело, ограниченное двумя параллельными кругами (основаниями) и боковой поверхностью.

Высотой цилиндра ($H$) называется перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на плоскость другого основания. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние между плоскостями оснований.

Образующими цилиндра ($L$) называются отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей оснований. В прямом круговом цилиндре все образующие перпендикулярны плоскостям оснований и параллельны оси цилиндра.

Возьмем произвольную образующую $AA'$, где точка $A$ лежит на окружности нижнего основания, а точка $A'$ — на соответствующей точке окружности верхнего основания. Так как по определению прямого цилиндра образующая $AA'$ перпендикулярна плоскости основания, то она является перпендикуляром, проведенным между двумя параллельными плоскостями оснований.

Длина такого перпендикуляра по определению является высотой цилиндра. Следовательно, длина образующей $L$ равна высоте цилиндра $H$. Поскольку все образующие прямого цилиндра равны между собой, то длина любой из них равна высоте цилиндра.

Ответ: Высота цилиндра равна длине его образующей ($H = L$), что и требовалось доказать.

Докажите, что осевым сечением цилиндра является прямоугольник.

Решение:

Осевое сечение цилиндра — это сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Ось цилиндра — это прямая, соединяющая центры его оснований.

Пусть дана секущая плоскость, которая проходит через ось $OO'$ цилиндра, где $O$ и $O'$ — центры нижнего и верхнего оснований соответственно.

Эта плоскость пересекает нижнее основание по диаметру $AB$, а верхнее основание — по диаметру $A'B'$. Точки $A, B, A', B'$ лежат в секущей плоскости.

Отрезки $AA'$ и $BB'$ являются образующими цилиндра, так как они соединяют соответствующие точки окружностей оснований. Эти образующие также лежат в секущей плоскости.

Фигурой, полученной в сечении, является четырехугольник $ABB'A'$. Докажем, что этот четырехугольник — прямоугольник.

1. По определению прямого цилиндра, его образующие ($AA'$ и $BB'$) параллельны оси $OO'$ и равны между собой. Следовательно, $AA' \parallel BB'$ и $AA' = BB'$.

2. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Значит, $ABB'A'$ — параллелограмм.

3. Также по определению прямого цилиндра, его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. Значит, образующая $AA'$ перпендикулярна любому отрезку в плоскости основания, выходящему из точки $A$, в том числе и диаметру $AB$. Таким образом, угол между образующей и диаметром основания прямой: $\angle A'AB = 90^\circ$.

4. Параллелограмм, у которого есть хотя бы один прямой угол, является прямоугольником.

Следовательно, четырехугольник $ABB'A'$ — это прямоугольник. Его стороны — это диаметр основания цилиндра ($AB$) и высота цилиндра ($AA'$).

Ответ: Осевое сечение цилиндра является прямоугольником, что и требовалось доказать.

Можно ли получить цилиндр вращением плоских фигур, отличных от прямоугольника?

Нет, получить твёрдый (не полый) прямой круговой цилиндр вращением какой-либо плоской фигуры, кроме прямоугольника, невозможно. Ниже представлено развёрнутое обоснование этого утверждения.

Решение

Тело вращения, в частности цилиндр, образуется при вращении плоской фигуры вокруг оси, лежащей в той же плоскости, что и фигура. Чтобы понять, почему только прямоугольник (или его частный случай — квадрат) может образовать сплошной цилиндр, рассмотрим процесс его формирования.

1. Определим, что такое прямой круговой цилиндр. Это трёхмерное тело, ограниченное двумя параллельными кругами одинакового радиуса (основаниями) и боковой поверхностью, образованной отрезками, перпендикулярными основаниям. В цилиндрической системе координат $(\rho, \phi, z)$ он описывается неравенствами $0 \le \rho \le R$ и $0 \le z \le H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра.

2. Поместим ось вращения на ось $Oz$, а вращаемую плоскую фигуру $F$ — в плоскость $Oxz$ (при $x \ge 0$). Когда фигура $F$ вращается вокруг оси $Oz$, каждая её точка $(x, z)$ описывает в пространстве окружность радиуса $x$ на высоте $z$.

3. Чтобы в результате вращения получился сплошной цилиндр, его поперечное сечение на любой высоте $z$ (где $0 \le z \le H$) должно представлять собой сплошной круг радиуса $R$.

4. Круг радиуса $R$ на высоте $z$ образуется совокупностью всех окружностей, которые описывают точки фигуры $F$, находящиеся на этой же высоте $z$. Чтобы эти окружности заполнили весь круг без пустот, необходимо, чтобы исходные точки в фигуре $F$ на высоте $z$ имели все возможные координаты по оси $x$ от 0 до $R$. Другими словами, для любой высоты $z$ из интервала $[0, H]$ срез фигуры $F$ должен представлять собой отрезок $[0, R]$.

5. Совокупность всех таких отрезков для всех высот $z$ от 0 до $H$ и образует плоскую фигуру. Множество точек $(x, z)$, для которых выполняются условия $0 \le x \le R$ и $0 \le z \le H$, по определению является прямоугольником со сторонами $R$ и $H$.

Если взять любую другую фигуру, она не сможет сформировать сплошной цилиндр:

• Если у фигуры (например, трапеции или треугольника) на какой-то высоте срез будет короче отрезка $[0, R]$, то в итоговом теле вращения на этой высоте поперечное сечение будет кругом меньшего радиуса, и получится не цилиндр, а другое тело (например, усечённый конус).

• Если фигура будет иметь вырез (например, будет невыпуклой или будет иметь отверстие), то и в итоговом теле вращения появится соответствующая полость, и цилиндр не будет сплошным.

• Если вращать параллелограмм, не являющийся прямоугольником (например, полученный сдвигом прямоугольника), то его точки на высоте $z$ будут лежать на отрезке, смещённом относительно оси вращения. При вращении такой отрезок образует не круг, а кольцо (аннулус). В результате получится тело, у которого поперечные сечения — кольца, а не сплошные круги. Следовательно, это не будет цилиндр.

Таким образом, единственной плоской фигурой, вращение которой вокруг одной из сторон образует сплошной прямой круговой цилиндр, является прямоугольник.

Ответ: Нет, невозможно получить сплошной прямой круговой цилиндр вращением плоской фигуры, отличной от прямоугольника.