Задания, страница 76 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите, что высота цилиндра равна длинам образующих боковой поверхности цилиндра.

Докажите, что осевым сечением цилиндра является прямоугольник.

Докажите, что высота цилиндра равна длинам образующих боковой поверхности цилиндра.

Решение:

По определению, прямой круговой цилиндр — это геометрическое тело, которое образовано вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон как оси. Другое определение гласит, что это тело, ограниченное двумя параллельными кругами (основаниями) и боковой поверхностью.

Высотой цилиндра ($H$) называется перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на плоскость другого основания. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние между плоскостями оснований.

Образующими цилиндра ($L$) называются отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей оснований. В прямом круговом цилиндре все образующие перпендикулярны плоскостям оснований и параллельны оси цилиндра.

Возьмем произвольную образующую $AA'$, где точка $A$ лежит на окружности нижнего основания, а точка $A'$ — на соответствующей точке окружности верхнего основания. Так как по определению прямого цилиндра образующая $AA'$ перпендикулярна плоскости основания, то она является перпендикуляром, проведенным между двумя параллельными плоскостями оснований.

Длина такого перпендикуляра по определению является высотой цилиндра. Следовательно, длина образующей $L$ равна высоте цилиндра $H$. Поскольку все образующие прямого цилиндра равны между собой, то длина любой из них равна высоте цилиндра.

Ответ: Высота цилиндра равна длине его образующей ($H = L$), что и требовалось доказать.

Докажите, что осевым сечением цилиндра является прямоугольник.

Решение:

Осевое сечение цилиндра — это сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Ось цилиндра — это прямая, соединяющая центры его оснований.

Пусть дана секущая плоскость, которая проходит через ось $OO'$ цилиндра, где $O$ и $O'$ — центры нижнего и верхнего оснований соответственно.

Эта плоскость пересекает нижнее основание по диаметру $AB$, а верхнее основание — по диаметру $A'B'$. Точки $A, B, A', B'$ лежат в секущей плоскости.

Отрезки $AA'$ и $BB'$ являются образующими цилиндра, так как они соединяют соответствующие точки окружностей оснований. Эти образующие также лежат в секущей плоскости.

Фигурой, полученной в сечении, является четырехугольник $ABB'A'$. Докажем, что этот четырехугольник — прямоугольник.

1. По определению прямого цилиндра, его образующие ($AA'$ и $BB'$) параллельны оси $OO'$ и равны между собой. Следовательно, $AA' \parallel BB'$ и $AA' = BB'$.

2. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Значит, $ABB'A'$ — параллелограмм.

3. Также по определению прямого цилиндра, его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. Значит, образующая $AA'$ перпендикулярна любому отрезку в плоскости основания, выходящему из точки $A$, в том числе и диаметру $AB$. Таким образом, угол между образующей и диаметром основания прямой: $\angle A'AB = 90^\circ$.

4. Параллелограмм, у которого есть хотя бы один прямой угол, является прямоугольником.

Следовательно, четырехугольник $ABB'A'$ — это прямоугольник. Его стороны — это диаметр основания цилиндра ($AB$) и высота цилиндра ($AA'$).

Ответ: Осевое сечение цилиндра является прямоугольником, что и требовалось доказать.