Номер 18, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого

$AB = 2, AD = 2, AA_1 = 1$, найдите расстояние от вершины $B_1$ до

плоскости $ACD_1$:

A) $\frac{\sqrt{6}}{2}$;

B) $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

C) $\frac{\sqrt{6}}{3}$;

D) $\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AB = 2$

$AD = 2$

$AA_1 = 1$

Все данные представлены в одних и тех же единицах измерения, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Расстояние от вершины $B_1$ до плоскости $ACD_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем трехмерную декартову систему координат с началом в вершине $A$.

1. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AD$, ось $Oy$ вдоль ребра $AB$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

2. Определим координаты необходимых вершин в этой системе:

• $A$ - начало координат, поэтому $A(0, 0, 0)$.
• $D$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии $AD=2$ от начала координат, поэтому $D(2, 0, 0)$.
• $B$ лежит на оси $Oy$ на расстоянии $AB=2$ от начала координат, поэтому $B(0, 2, 0)$.
• $C$ имеет координаты, соответствующие смещению на $AD$ по $x$ и на $AB$ по $y$, поэтому $C(2, 2, 0)$.
• $A_1$ лежит на оси $Oz$ на расстоянии $AA_1=1$ от начала координат, поэтому $A_1(0, 0, 1)$.
• $D_1$ получается смещением точки $D$ на вектор $\vec{AA_1}$, поэтому $D_1(2, 0, 1)$.
• $B_1$ получается смещением точки $B$ на вектор $\vec{AA_1}$, поэтому $B_1(0, 2, 1)$.

3. Составим уравнение плоскости $ACD_1$. Общее уравнение плоскости имеет вид $ax + by + cz + d = 0$.

Так как плоскость проходит через начало координат $A(0, 0, 0)$, подстановка этих координат в уравнение дает $d=0$. Уравнение принимает вид $ax + by + cz = 0$.

Подставим координаты точек $C(2, 2, 0)$ и $D_1(2, 0, 1)$ в уравнение плоскости:

Для точки $C(2, 2, 0): a(2) + b(2) + c(0) = 0 \implies 2a + 2b = 0 \implies a = -b$.

Для точки $D_1(2, 0, 1): a(2) + b(0) + c(1) = 0 \implies 2a + c = 0 \implies c = -2a$.

Выразим коэффициенты $b$ и $c$ через $a$: $b = -a$, $c = -2a$. Подставим их в уравнение плоскости:

$ax - ay - 2az = 0$

Разделив на $a$ (при условии $a \neq 0$), получаем уравнение плоскости $ACD_1$:

$x - y - 2z = 0$

4. Найдем расстояние от точки $B_1(x_0, y_0, z_0) = B_1(0, 2, 1)$ до плоскости $x - y - 2z = 0$ по формуле:

$\rho = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Здесь $a=1, b=-1, c=-2, d=0$ и $x_0=0, y_0=2, z_0=1$.

$\rho = \frac{|1 \cdot 0 + (-1) \cdot 2 + (-2) \cdot 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2}} = \frac{|0 - 2 - 2|}{\sqrt{1 + 1 + 4}} = \frac{|-4|}{\sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{6}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\rho = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{4\sqrt{6}}{6} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

Данный результат соответствует варианту D).

Ответ: $\frac{2\sqrt{6}}{3}$.