Номер 16, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, у которого $AB = 2, AD = 2, AA_1 = 1$, найдите расстояние от вершины $A_1$ до плоскости $ABC_1$;

A) $\frac{\sqrt{5}}{5}$; B) $\frac{2\sqrt{5}}{5}$; C) $\frac{\sqrt{3}}{5}$; D) $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AB = 2$

$AD = 2$

$AA_1 = 1$

Найти:

Расстояние от вершины $A_1$ до плоскости $ABC_1$, обозначим его $h$.

Решение:

Для решения задачи наиболее удобен метод координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $A$.

Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат определим координаты вершин, необходимых для решения задачи:

$A(0,0,0)$ – так как это начало координат.

$B(2,0,0)$ – так как $AB=2$ и вершина $B$ лежит на оси $Ox$.

$C_1(2,2,1)$ – так как для попадания в эту точку из начала координат нужно сместиться на 2 единицы по оси $Ox$ ($AB$), на 2 единицы по оси $Oy$ ($BC=AD$) и на 1 единицу по оси $Oz$ ($CC_1=AA_1$).

$A_1(0,0,1)$ – так как $AA_1=1$ и вершина $A_1$ лежит на оси $Oz$.

Плоскость $ABC_1$ задается тремя точками: $A(0,0,0)$, $B(2,0,0)$ и $C_1(2,2,1)$. Составим уравнение этой плоскости в общем виде $ax + by + cz + d = 0$.

1. Так как плоскость проходит через начало координат $A(0,0,0)$, подстановка этих координат в уравнение дает $a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 0 + d = 0$, откуда следует, что $d=0$. Уравнение принимает вид $ax + by + cz = 0$.

2. Подставим в уравнение координаты точки $B(2,0,0)$: $a \cdot 2 + b \cdot 0 + c \cdot 0 = 0$, что дает $2a = 0$, следовательно, $a = 0$.

3. Теперь уравнение плоскости имеет вид $by + cz = 0$. Подставим в него координаты точки $C_1(2,2,1)$: $b \cdot 2 + c \cdot 1 = 0$, или $2b + c = 0$.

4. Мы можем выбрать любое ненулевое частное решение для коэффициентов $b$ и $c$. Например, пусть $b=1$, тогда $c=-2b=-2$.

Таким образом, уравнение плоскости $ABC_1$ имеет вид $y - 2z = 0$.

Далее найдем искомое расстояние от точки $A_1(0,0,1)$ до плоскости $y - 2z = 0$.

Воспользуемся формулой расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $ax+by+cz+d=0$:

$h = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

В нашем случае точка – это $A_1(0,0,1)$, а уравнение плоскости – $0x + 1y - 2z + 0 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a=0, b=1, c=-2, d=0$. Координаты точки: $x_0=0, y_0=0, z_0=1$.

Подставляем эти значения в формулу:

$h = \frac{|0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 2 \cdot 1 + 0|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{1+4}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{5}$:

$h = \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Полученное значение соответствует варианту ответа B).

Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.