Номер 19, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Для правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, стороны основания которой равны 1 см, а высота равна 2 см, найдите расстояние от центра $O$ ее основания до плоскости $SBC$:

A) $\frac{2\sqrt{17}}{17}$ см;

B) $\frac{\sqrt{17}}{17}$ см;

C) $\frac{2\sqrt{15}}{15}$ см;

D) $\frac{\sqrt{15}}{15}$ см.

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида

Сторона основания $a = 1$ см

Высота пирамиды $H = SO = 2$ см

$a = 0.01$ м
$H = 0.02$ м

Найти:

Расстояние от центра основания O до плоскости SBC.

Решение:

Поскольку пирамида SABCD правильная, в ее основании лежит квадрат ABCD, а высота SO проецируется в центр этого квадрата — точку O, которая является точкой пересечения диагоналей.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Нам нужно найти длину перпендикуляра OH, опущенного из точки O на плоскость боковой грани SBC.

Чтобы найти этот перпендикуляр, построим вспомогательное сечение. Проведем в плоскости основания отрезок OM, где M — середина стороны BC. Так как ABCD — квадрат, а O — его центр, то $OM \perp BC$. Длина OM равна половине стороны квадрата: $OM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$ см.

Рассмотрим плоскость, проходящую через высоту пирамиды SO и отрезок OM. Это плоскость треугольника SOM. Так как высота пирамиды $SO \perp (ABC)$, то $SO \perp BC$. Поскольку $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($OM$ и $SO$) в плоскости SOM, то прямая $BC$ перпендикулярна всей плоскости SOM.

Так как прямая BC лежит в плоскости SBC и $BC \perp (SOM)$, то плоскость SBC перпендикулярна плоскости SOM. Искомый перпендикуляр OH из точки O на плоскость SBC будет лежать в плоскости SOM и являться высотой прямоугольного треугольника SOM, проведенной к гипотенузе SM.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOM (угол $\angle SOM = 90^{\circ}$):

• Катет $SO$ — это высота пирамиды, $SO = 2$ см.
• Катет $OM$ — это половина стороны основания, $OM = 0.5$ см.

Найдем гипотенузу SM (апофему пирамиды) по теореме Пифагора:

$SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{2^2 + (0.5)^2} = \sqrt{4 + 0.25} = \sqrt{4.25} = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2}$ см.

Теперь найдем высоту OH треугольника SOM, проведенную к гипотенузе SM. Площадь треугольника SOM можно выразить двумя способами:

$S_{\triangle SOM} = \frac{1}{2} \cdot OM \cdot SO$

$S_{\triangle SOM} = \frac{1}{2} \cdot SM \cdot OH$

Приравнивая правые части, получаем:

$OM \cdot SO = SM \cdot OH$

Отсюда выражаем искомую длину OH:

$OH = \frac{OM \cdot SO}{SM}$

Подставляем известные значения:

$OH = \frac{0.5 \cdot 2}{\frac{\sqrt{17}}{2}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{17}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{17}}$ см.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{17}$:

$OH = \frac{2 \cdot \sqrt{17}}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{17}} = \frac{2\sqrt{17}}{17}$ см.

Это значение соответствует варианту ответа A).

Ответ: $ \frac{2\sqrt{17}}{17} $ см.