Номер 17, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого

$AB = 2, AD = 2, AA_1 = 1$, найдите расстояние от вершины $A_1$ до

плоскости $ACD_1$:

A) $\frac{\sqrt{6}}{2}$;

B) $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

C) $\frac{\sqrt{6}}{3}$;

D) $\frac{\sqrt{6}}{4}$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого длины ребер равны $AB = 2$, $AD = 2$, $AA_1 = 1$.

Найти:

Расстояние от вершины $A_1$ до плоскости $ACD_1$.

Решение:

Для решения задачи наиболее удобен координатный метод. Введем прямоугольную систему координат, поместив ее начало в вершину $A(0, 0, 0)$. Направим оси координат вдоль ребер параллелепипеда: ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Определим координаты вершин, необходимых для решения задачи:

Координаты точек, задающих плоскость $ACD_1$:

• $A(0, 0, 0)$ – начало координат.

• $C(2, 2, 0)$ – так как для достижения этой точки из $A$ нужно пройти по $AB$ (ось $x$) на 2 единицы и по $BC$ (параллельно оси $y$) на 2 единицы.

• $D_1(0, 2, 1)$ – так как для достижения этой точки из $A$ нужно пройти по $AD$ (ось $y$) на 2 единицы и по $DD_1$ (параллельно оси $z$) на 1 единицу.

Координаты точки, от которой ищем расстояние:

• $A_1(0, 0, 1)$

Составим уравнение плоскости, проходящей через точки $A$, $C$ и $D_1$. Общий вид уравнения плоскости: $ax + by + cz + d = 0$.

Поскольку плоскость проходит через начало координат $A(0, 0, 0)$, подстановка этих координат в уравнение дает $d=0$. Уравнение принимает вид $ax + by + cz = 0$.

Теперь подставим координаты точек $C$ и $D_1$ в это уравнение:

Для точки $C(2, 2, 0)$: $a \cdot 2 + b \cdot 2 + c \cdot 0 = 0 \implies 2a + 2b = 0 \implies a = -b$.

Для точки $D_1(0, 2, 1)$: $a \cdot 0 + b \cdot 2 + c \cdot 1 = 0 \implies 2b + c = 0 \implies c = -2b$.

Мы можем выбрать любое ненулевое значение для $b$, чтобы найти коэффициенты $a$ и $c$. Пусть $b = -1$, тогда $a = 1$ и $c = 2$.

Таким образом, уравнение плоскости $ACD_1$ имеет вид: $1 \cdot x - 1 \cdot y + 2 \cdot z = 0$ или $x - y + 2z = 0$.

Расстояние $h$ от точки $M(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $ax+by+cz+d=0$ вычисляется по формуле:

$h = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Найдем расстояние от точки $A_1(0, 0, 1)$ до плоскости $x - y + 2z = 0$. Здесь $x_0=0, y_0=0, z_0=1$ и $a=1, b=-1, c=2, d=0$.

$h = \frac{|1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|2|}{\sqrt{1 + 1 + 4}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:

$h = \frac{2 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$.