Вопрос?, страница 76 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Можно ли получить цилиндр вращением плоских фигур, отличных от прямоугольника?

Нет, получить твёрдый (не полый) прямой круговой цилиндр вращением какой-либо плоской фигуры, кроме прямоугольника, невозможно. Ниже представлено развёрнутое обоснование этого утверждения.

Решение

Тело вращения, в частности цилиндр, образуется при вращении плоской фигуры вокруг оси, лежащей в той же плоскости, что и фигура. Чтобы понять, почему только прямоугольник (или его частный случай — квадрат) может образовать сплошной цилиндр, рассмотрим процесс его формирования.

1. Определим, что такое прямой круговой цилиндр. Это трёхмерное тело, ограниченное двумя параллельными кругами одинакового радиуса (основаниями) и боковой поверхностью, образованной отрезками, перпендикулярными основаниям. В цилиндрической системе координат $(\rho, \phi, z)$ он описывается неравенствами $0 \le \rho \le R$ и $0 \le z \le H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра.

2. Поместим ось вращения на ось $Oz$, а вращаемую плоскую фигуру $F$ — в плоскость $Oxz$ (при $x \ge 0$). Когда фигура $F$ вращается вокруг оси $Oz$, каждая её точка $(x, z)$ описывает в пространстве окружность радиуса $x$ на высоте $z$.

3. Чтобы в результате вращения получился сплошной цилиндр, его поперечное сечение на любой высоте $z$ (где $0 \le z \le H$) должно представлять собой сплошной круг радиуса $R$.

4. Круг радиуса $R$ на высоте $z$ образуется совокупностью всех окружностей, которые описывают точки фигуры $F$, находящиеся на этой же высоте $z$. Чтобы эти окружности заполнили весь круг без пустот, необходимо, чтобы исходные точки в фигуре $F$ на высоте $z$ имели все возможные координаты по оси $x$ от 0 до $R$. Другими словами, для любой высоты $z$ из интервала $[0, H]$ срез фигуры $F$ должен представлять собой отрезок $[0, R]$.

5. Совокупность всех таких отрезков для всех высот $z$ от 0 до $H$ и образует плоскую фигуру. Множество точек $(x, z)$, для которых выполняются условия $0 \le x \le R$ и $0 \le z \le H$, по определению является прямоугольником со сторонами $R$ и $H$.

Если взять любую другую фигуру, она не сможет сформировать сплошной цилиндр:

• Если у фигуры (например, трапеции или треугольника) на какой-то высоте срез будет короче отрезка $[0, R]$, то в итоговом теле вращения на этой высоте поперечное сечение будет кругом меньшего радиуса, и получится не цилиндр, а другое тело (например, усечённый конус).

• Если фигура будет иметь вырез (например, будет невыпуклой или будет иметь отверстие), то и в итоговом теле вращения появится соответствующая полость, и цилиндр не будет сплошным.

• Если вращать параллелограмм, не являющийся прямоугольником (например, полученный сдвигом прямоугольника), то его точки на высоте $z$ будут лежать на отрезке, смещённом относительно оси вращения. При вращении такой отрезок образует не круг, а кольцо (аннулус). В результате получится тело, у которого поперечные сечения — кольца, а не сплошные круги. Следовательно, это не будет цилиндр.

Таким образом, единственной плоской фигурой, вращение которой вокруг одной из сторон образует сплошной прямой круговой цилиндр, является прямоугольник.

Ответ: Нет, невозможно получить сплошной прямой круговой цилиндр вращением плоской фигуры, отличной от прямоугольника.