Номер 13, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 2, AD = 2, AA_1 = 1$, найдите синус угла между прямой $DB_1$ и плоскостью $ACD_1$:

A) $\frac{\sqrt{6}}{6}$;

B) $\frac{\sqrt{6}}{3}$;

C) $\frac{2\sqrt{2}}{3}$;

D) $\frac{\sqrt{2}}{3}$.

Дано:
Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$
Длина ребра $AB = 2$
Длина ребра $AD = 2$
Длина ребра $AA_1 = 1$

Найти:
Синус угла между прямой $DB_1$ и плоскостью $ACD_1$.

Решение:
Для решения задачи применим координатный метод. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $D$. Направим ось абсцисс ($Ox$) вдоль ребра $DA$, ось ординат ($Oy$) вдоль ребра $DC$ и ось аппликат ($Oz$) вдоль ребра $DD_1$.
В данной системе координат определим координаты вершин, необходимых для решения.
Так как $AD=2$, то точка $A$ имеет координаты $(2, 0, 0)$.
В прямоугольном параллелепипеде $DC = AB = 2$, поэтому точка $C$ имеет координаты $(0, 2, 0)$.
Высота $DD_1 = AA_1 = 1$, значит, точка $D_1$ имеет координаты $(0, 0, 1)$.
Точка $D$ — начало координат, $D(0, 0, 0)$.
Координаты точки $B_1$ найдем как сумму векторов, составляющих ломаную линию от начала координат до этой точки: $\vec{DB_1} = \vec{DA} + \vec{AB} + \vec{BB_1}$. Учитывая, что $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{BB_1} = \vec{DD_1}$, получаем $\vec{DB_1} = \vec{DA} + \vec{DC} + \vec{DD_1}$.
Таким образом, координаты точки $B_1$ равны $(2, 2, 1)$.

1. Направляющий вектор $\vec{v}$ прямой $DB_1$ находится как разность координат ее конца и начала:
$\vec{v} = \vec{DB_1} = (2-0, 2-0, 1-0) = (2, 2, 1)$.

2. Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $ACD_1$ можно найти, составив уравнение этой плоскости. Плоскость проходит через точки $A(2, 0, 0)$, $C(0, 2, 0)$ и $D_1(0, 0, 1)$, которые являются точками пересечения плоскости с осями координат. Уравнение плоскости в отрезках имеет вид:
$\frac{x}{2} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1$
Приведем уравнение к общему виду $Ax+By+Cz+D=0$, умножив его на 2:
$x + y + 2z - 2 = 0$
Коэффициенты при $x, y, z$ в общем уравнении плоскости являются координатами вектора нормали $\vec{n}$. Таким образом, $\vec{n} = (1, 1, 2)$.

3. Синус угла $\alpha$ между прямой и плоскостью вычисляется по формуле:
$\sin(\alpha) = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|}$
Найдем скалярное произведение векторов $\vec{v}$ и $\vec{n}$:
$\vec{v} \cdot \vec{n} = (2)(1) + (2)(1) + (1)(2) = 2 + 2 + 2 = 6$.
Найдем модули (длины) векторов:
$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
Подставим полученные значения в формулу:
$\sin(\alpha) = \frac{|6|}{3 \cdot \sqrt{6}} = \frac{6}{3\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:
$\sin(\alpha) = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
Этот результат соответствует варианту B).

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$.