Номер 7, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 2, AD = 2, AA_1 = 1$, найдите косинус угла между плоскостями $ABC_1$ и $BCD_1$:

A) $ \frac{1}{5} $;

B) $ \frac{2}{5} $;

C) $ \frac{3}{5} $;

D) $ \frac{4}{5} $.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AB = 2$

$AD = 2$

$AA_1 = 1$

Найти:

Косинус угла между плоскостями $(ABC_1)$ и $(BCD_1)$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат вершины параллелепипеда, необходимые для решения, будут иметь следующие координаты:

$A(0, 0, 0)$

$B(2, 0, 0)$

$C(2, 2, 0)$

$C_1(2, 2, 1)$

$D_1(0, 2, 1)$

Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Найдем векторы нормали для плоскостей $(ABC_1)$ и $(BCD_1)$.

1. Найдем нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости $(ABC_1)$. Эта плоскость определяется точками $A(0, 0, 0)$, $B(2, 0, 0)$ и $C_1(2, 2, 1)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости: $\vec{AB}$ и $\vec{AC_1}$.

$\vec{AB} = (2-0, 0-0, 0-0) = (2, 0, 0)$

$\vec{AC_1} = (2-0, 2-0, 1-0) = (2, 2, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n_1}$ является векторным произведением этих векторов:

$\vec{n_1} = \vec{AB} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot 2) - \vec{j}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 2) + \vec{k}(2 \cdot 2 - 0 \cdot 2) = 0\vec{i} - 2\vec{j} + 4\vec{k}$

Таким образом, $\vec{n_1} = (0, -2, 4)$.

2. Найдем нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $(BCD_1)$. Эта плоскость определяется точками $B(2, 0, 0)$, $C(2, 2, 0)$ и $D_1(0, 2, 1)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости: $\vec{BC}$ и $\vec{BD_1}$.

$\vec{BC} = (2-2, 2-0, 0-0) = (0, 2, 0)$

$\vec{BD_1} = (0-2, 2-0, 1-0) = (-2, 2, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n_2}$ является векторным произведением этих векторов:

$\vec{n_2} = \vec{BC} \times \vec{BD_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 2 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 2) - \vec{j}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-2)) + \vec{k}(0 \cdot 2 - 2 \cdot (-2)) = 2\vec{i} - 0\vec{j} + 4\vec{k}$

Таким образом, $\vec{n_2} = (2, 0, 4)$.

3. Найдем косинус угла $\alpha$ между нормальными векторами $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$.

Косинус угла вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(2) + (-2)(0) + (4)(4) = 16$

Найдем модули (длины) векторов:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$

$|\vec{n_2}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$

Теперь вычислим косинус угла:

$\cos \alpha = \frac{|16|}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{20}} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$.