Номер 1, страница 71 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 2, AD = 2, AA_1 = 1$, найдите угол между прямыми $DB_1$ и $AC$:

A) $30^\circ$;

B) $45^\circ$;

C) $60^\circ$;

D) $90^\circ$.

Дано:
Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$
$AB = 2$
$AD = 2$
$AA_1 = 1$
Все данные представлены в виде безразмерных величин, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
Угол между прямыми $DB_1$ и $AC$.

Решение:
Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $DB_1$ и $AC$ наиболее удобным является метод координат.

1. Введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $A(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$, и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

2. Определим координаты вершин, необходимых для нахождения векторов, лежащих на заданных прямых.
Исходя из заданных длин ребер, координаты вершин будут следующими:
$A(0, 0, 0)$
$C(2, 2, 0)$
$D(0, 2, 0)$
$B_1(2, 0, 1)$

3. Найдем координаты направляющих векторов для прямых $AC$ и $DB_1$.
Вектор $\vec{AC}$ имеет координаты, равные разности координат точек $C$ и $A$:
$\vec{AC} = (2 - 0, 2 - 0, 0 - 0) = (2, 2, 0)$.
Вектор $\vec{DB_1}$ имеет координаты, равные разности координат точек $B_1$ и $D$:
$\vec{DB_1} = (2 - 0, 0 - 2, 1 - 0) = (2, -2, 1)$.

4. Угол $\alpha$ между прямыми найдем как угол между их направляющими векторами. Косинус угла между векторами вычисляется через их скалярное произведение:
$\cos \alpha = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{DB_1}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{DB_1}|}$
Вычислим скалярное произведение векторов:
$\vec{AC} \cdot \vec{DB_1} = (2)(2) + (2)(-2) + (0)(1) = 4 - 4 + 0 = 0$.

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, то косинус угла между ними равен нулю. Это означает, что векторы перпендикулярны, а угол между ними составляет $90^\circ$.
$\cos \alpha = 0 \implies \alpha = 90^\circ$.
Следовательно, угол между прямыми $DB_1$ и $AC$ равен $90^\circ$.

Альтернативное геометрическое доказательство:
1. Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед и $AB=AD=2$, его основание $ABCD$ является квадратом.
2. В квадрате диагонали перпендикулярны, следовательно, $AC \perp BD$.
3. Ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$ (по определению прямоугольного параллелепипеда). Значит, $BB_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе $BB_1 \perp AC$.
4. Прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BD$ и $BB_1$) в плоскости $DBB_1D_1$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $DBB_1D_1$.
5. Прямая $DB_1$ лежит в плоскости $DBB_1D_1$.
6. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $AC \perp DB_1$.
Угол между прямыми равен $90^\circ$.

Ответ: D) $90^\circ$.