Страница 71 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11.11. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ стороны основания равны 2 см, а высота равна 4 см (рис. 11.7). Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $SBC$.

Рис. 11.7

Дано:

$SABCDEF$ - правильная шестиугольная пирамида
Сторона основания $a = 2 \text{ см}$
Высота пирамиды $SO = H = 4 \text{ см}$

$a = 0.02 \text{ м}$
$H = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Расстояние от точки $A$ до плоскости $SBC$, обозначаемое как $d(A, (SBC))$.

Решение:

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике большая диагональ $AD$ параллельна стороне $BC$. Так как прямая $BC$ целиком лежит в плоскости $SBC$, то прямая $AD$, на которой находится точка $A$, параллельна плоскости $SBC$.
Следовательно, расстояние от точки $A$ до плоскости $SBC$ равно расстоянию от любой другой точки на прямой $AD$ до этой же плоскости. Для удобства вычислений выберем центр основания $O$, который является серединой диагонали $AD$. Таким образом, искомое расстояние равно расстоянию от точки $O$ до плоскости $SBC$.
$d(A, (SBC)) = d(O, (SBC))$.

Для нахождения расстояния от точки $O$ до плоскости $SBC$ построим перпендикуляр из точки $O$ на эту плоскость.
Проведем в плоскости основания отрезок $OM$ к середине стороны $BC$. $OM$ является апофемой основания, и так как шестиугольник правильный, $OM \perp BC$.
Высота пирамиды $SO$ по определению перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе $SO \perp BC$.
Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($OM$ и $SO$) в плоскости $SOM$, то прямая $BC$ перпендикулярна всей плоскости $SOM$.
Теперь в плоскости $SOM$ проведем высоту $OH$ к стороне $SM$. Так как отрезок $OH$ лежит в плоскости $SOM$, то он перпендикулярен прямой $BC$ ($OH \perp BC$).
Таким образом, отрезок $OH$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым в плоскости $SBC$: $OH \perp SM$ (по построению) и $OH \perp BC$. Следовательно, $OH$ является перпендикуляром к плоскости $SBC$, и его длина есть искомое расстояние.

Найдем длину $OH$ из прямоугольного треугольника $SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$).
Один из катетов, $SO$, является высотой пирамиды: $SO = H = 0.04 \text{ м}$.
Другой катет, $OM$, является апофемой основания. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен его стороне ($OB=a=0.02 \text{ м}$), поэтому треугольник $OBC$ является равносторонним. Апофема $OM$ является его высотой.
$OM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{0.02\sqrt{3}}{2} = 0.01\sqrt{3} \text{ м}$.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $SM$, которая является апофемой боковой грани $SBC$:
$SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{(0.04)^2 + (0.01\sqrt{3})^2} = \sqrt{0.0016 + 0.0001 \cdot 3} = \sqrt{0.0016 + 0.0003} = \sqrt{0.0019} \text{ м}$.

Высоту $OH$ прямоугольного треугольника $SOM$, проведенную к гипотенузе, можно найти, используя метод площадей:
$S_{\triangle SOM} = \frac{1}{2} \cdot SO \cdot OM = \frac{1}{2} \cdot SM \cdot OH$
$OH = \frac{SO \cdot OM}{SM} = \frac{0.04 \cdot 0.01\sqrt{3}}{\sqrt{0.0019}} = \frac{0.0004\sqrt{3}}{\sqrt{19 \cdot 10^{-4}}} = \frac{0.0004\sqrt{3}}{10^{-2}\sqrt{19}} = \frac{0.04\sqrt{3}}{\sqrt{19}} \text{ м}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{19}$:
$OH = \frac{0.04\sqrt{3} \cdot \sqrt{19}}{\sqrt{19} \cdot \sqrt{19}} = \frac{0.04\sqrt{57}}{19} \text{ м}$.

Таким образом, искомое расстояние $d(A, (SBC))$ равно $OH$. Для соответствия с единицами из условия задачи, переведем ответ в сантиметры:
$\frac{0.04\sqrt{57}}{19} \text{ м} = \frac{4\sqrt{57}}{19} \text{ см}$.

Ответ: $\frac{4\sqrt{57}}{19} \text{ см}$.

11.12. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 2 см (рис. 11.8).

Найдите расстояние от точки $A_1$ до плоскости $BCE_1$.

Рис. 11.8

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Ребро основания $a = 2$ см.

Боковое ребро (высота) $h = 2$ см.

Перевод в систему СИ:

$a = 0.02$ м

$h = 0.02$ м

Найти:

Расстояние от точки $A_1$ до плоскости $BCE_1$, обозначим его $\rho(A_1, (BCE_1))$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с центром в точке $O$ — центре нижнего основания призмы $ABCDEF$. Ось $Oz$ направим вдоль оси призмы $OO_1$. Ось $Ox$ направим так, чтобы она проходила через вершину $A$. Ось $Oy$ направим перпендикулярно оси $Ox$ в плоскости основания.

В основании призмы лежит правильный шестиугольник со стороной $a = 2$ см. Радиус описанной окружности для правильного шестиугольника равен его стороне, $R=a=2$ см. Высота призмы $h = 2$ см.

Найдем координаты необходимых нам вершин. Точки нижнего основания лежат в плоскости $z=0$, а точки верхнего основания — в плоскости $z=h=2$.

• Точка $A$ лежит на оси $Ox$, поэтому ее координаты $A(2, 0, 0)$.

• Точка $B$ получается поворотом точки $A$ на $60^\circ$ против часовой стрелки: $B(2\cos(60^\circ), 2\sin(60^\circ), 0)$, что дает $B(1, \sqrt{3}, 0)$.

• Точка $C$ получается поворотом точки $A$ на $120^\circ$: $C(2\cos(120^\circ), 2\sin(120^\circ), 0)$, что дает $C(-1, \sqrt{3}, 0)$.

• Точка $E$ получается поворотом точки $A$ на $240^\circ$: $E(2\cos(240^\circ), 2\sin(240^\circ), 0)$, что дает $E(-1, -\sqrt{3}, 0)$.

Координаты точек верхнего основания получаются добавлением высоты $h=2$ к аппликате (координате $z$):

• Точка $A_1$ имеет координаты $A_1(2, 0, 2)$.

• Точка $E_1$ имеет координаты $E_1(-1, -\sqrt{3}, 2)$.

Теперь составим уравнение плоскости $(BCE_1)$. Уравнение плоскости в общем виде: $Ax + By + Cz + D = 0$, где вектор $\vec{n}=(A, B, C)$ является нормальным вектором к плоскости.

Найдем два вектора, лежащие в этой плоскости, например, $\vec{BC}$ и $\vec{BE_1}$:

$\vec{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B, z_C - z_B) = (-1-1, \sqrt{3}-\sqrt{3}, 0-0) = (-2, 0, 0)$.

$\vec{BE_1} = (x_{E_1} - x_B, y_{E_1} - y_B, z_{E_1} - z_B) = (-1-1, -\sqrt{3}-\sqrt{3}, 2-0) = (-2, -2\sqrt{3}, 2)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ найдем как векторное произведение векторов $\vec{BC}$ и $\vec{BE_1}$:

$\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BE_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 0 & 0 \\ -2 & -2\sqrt{3} & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 2 - 0 \cdot (-2\sqrt{3})) - \vec{j}((-2) \cdot 2 - 0 \cdot (-2)) + \vec{k}((-2) \cdot (-2\sqrt{3}) - 0 \cdot (-2))$

$\vec{n} = 0\vec{i} - (-4)\vec{j} + 4\sqrt{3}\vec{k} = (0, 4, 4\sqrt{3})$.

Для удобства можно взять коллинеарный вектор, разделив координаты на 4: $\vec{n'} = (0, 1, \sqrt{3})$.

Таким образом, уравнение плоскости $(BCE_1)$ имеет вид: $0 \cdot x + 1 \cdot y + \sqrt{3} \cdot z + D = 0$, или $y + \sqrt{3}z + D = 0$.

Чтобы найти коэффициент $D$, подставим в уравнение координаты любой точки, принадлежащей плоскости, например, точки $B(1, \sqrt{3}, 0)$:

$\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 0 + D = 0 \implies D = -\sqrt{3}$.

Итак, уравнение плоскости $(BCE_1)$ есть $y + \sqrt{3}z - \sqrt{3} = 0$.

Теперь найдем расстояние $\rho$ от точки $M_0(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ по формуле:

$\rho = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае искомая точка – это $A_1(2, 0, 2)$, а плоскость – $y + \sqrt{3}z - \sqrt{3} = 0$. Коэффициенты уравнения плоскости: $A=0, B=1, C=\sqrt{3}, D=-\sqrt{3}$. Координаты точки: $x_0=2, y_0=0, z_0=2$.

Подставляем значения в формулу:

$\rho(A_1, (BCE_1)) = \frac{|0 \cdot 2 + 1 \cdot 0 + \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3}|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (\sqrt{3})^2}}$

$\rho(A_1, (BCE_1)) = \frac{|2\sqrt{3} - \sqrt{3}|}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Расстояние от точки $A_1$ до плоскости $BCE_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

11.13. Повторите определение поворота на плоскости.

Поворотом плоскости вокруг точки $O$ на угол $\alpha$ называется преобразование (отображение) плоскости на себя, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что выполняются два условия:
1) Расстояние от точки $M'$ до центра поворота $O$ равно расстоянию от точки $M$ до центра $O$, то есть, $OM' = OM$.
2) Угол между лучами $OM$ и $OM'$ равен углу $\alpha$, то есть, $\angle MOM' = \alpha$.

Точка $O$ называется центром поворота, а угол $\alpha$ — углом поворота. Сама точка $O$ при повороте остается неподвижной, то есть переходит сама в себя.

Направление поворота определяется знаком угла. Общепринято считать, что поворот на положительный угол $\alpha$ выполняется против часовой стрелки, а на отрицательный угол — по часовой стрелке. Поворот на угол $360^\circ$ (или $0^\circ$) является тождественным преобразованием, при котором все точки остаются на своих местах.

Поворот является движением (или изометрией), поскольку он сохраняет расстояния между любыми двумя точками. Из этого следует, что поворот сохраняет углы, параллельность прямых, а любая фигура при повороте переходит в равную ей фигуру.

Ответ: Поворот плоскости вокруг заданной точки $O$ (центра поворота) на заданный угол $\alpha$ — это преобразование, при котором каждая точка $M$ плоскости отображается на такую точку $M'$, что отрезок $OM$ переходит в равный ему отрезок $OM'$ в результате поворота на угол $\alpha$ вокруг точки $O$. Направление поворота (по или против часовой стрелки) определяется знаком угла $\alpha$.

1. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 2, AD = 2, AA_1 = 1$, найдите угол между прямыми $DB_1$ и $AC$:

A) $30^\circ$;

B) $45^\circ$;

C) $60^\circ$;

D) $90^\circ$.

Дано:
Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$
$AB = 2$
$AD = 2$
$AA_1 = 1$
Все данные представлены в виде безразмерных величин, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
Угол между прямыми $DB_1$ и $AC$.

Решение:
Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $DB_1$ и $AC$ наиболее удобным является метод координат.

1. Введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $A(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$, и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

2. Определим координаты вершин, необходимых для нахождения векторов, лежащих на заданных прямых.
Исходя из заданных длин ребер, координаты вершин будут следующими:
$A(0, 0, 0)$
$C(2, 2, 0)$
$D(0, 2, 0)$
$B_1(2, 0, 1)$

3. Найдем координаты направляющих векторов для прямых $AC$ и $DB_1$.
Вектор $\vec{AC}$ имеет координаты, равные разности координат точек $C$ и $A$:
$\vec{AC} = (2 - 0, 2 - 0, 0 - 0) = (2, 2, 0)$.
Вектор $\vec{DB_1}$ имеет координаты, равные разности координат точек $B_1$ и $D$:
$\vec{DB_1} = (2 - 0, 0 - 2, 1 - 0) = (2, -2, 1)$.

4. Угол $\alpha$ между прямыми найдем как угол между их направляющими векторами. Косинус угла между векторами вычисляется через их скалярное произведение:
$\cos \alpha = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{DB_1}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{DB_1}|}$
Вычислим скалярное произведение векторов:
$\vec{AC} \cdot \vec{DB_1} = (2)(2) + (2)(-2) + (0)(1) = 4 - 4 + 0 = 0$.

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, то косинус угла между ними равен нулю. Это означает, что векторы перпендикулярны, а угол между ними составляет $90^\circ$.
$\cos \alpha = 0 \implies \alpha = 90^\circ$.
Следовательно, угол между прямыми $DB_1$ и $AC$ равен $90^\circ$.

Альтернативное геометрическое доказательство:
1. Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед и $AB=AD=2$, его основание $ABCD$ является квадратом.
2. В квадрате диагонали перпендикулярны, следовательно, $AC \perp BD$.
3. Ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$ (по определению прямоугольного параллелепипеда). Значит, $BB_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе $BB_1 \perp AC$.
4. Прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BD$ и $BB_1$) в плоскости $DBB_1D_1$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $DBB_1D_1$.
5. Прямая $DB_1$ лежит в плоскости $DBB_1D_1$.
6. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $AC \perp DB_1$.
Угол между прямыми равен $90^\circ$.

Ответ: D) $90^\circ$.

2. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 2$, $AD = 2$, $AA_1 = 1$, найдите косинус угла между прямыми $BB_1$ и $DB_1$:

A) $\frac{1}{3}$; B) $\frac{1}{4}$; C) $\frac{1}{5}$; D) $\frac{1}{6}$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AB = 2$

$AD = 2$

$AA_1 = 1$

Найти:

Косинус угла между прямыми $BB_1$ и $DB_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A и осями, направленными вдоль ребер параллелепипеда:

Ось Ox — вдоль ребра $AB$.

Ось Oy — вдоль ребра $AD$.

Ось Oz — вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат найдем координаты вершин, необходимых для определения векторов прямых:

Точка $A$ является началом координат: $A(0; 0; 0)$.

Исходя из длин ребер, находим координаты других точек:

$B(2; 0; 0)$ (так как $AB = 2$ по оси Ox)

$D(0; 2; 0)$ (так как $AD = 2$ по оси Oy)

Координаты точки $B_1$ получаются смещением точки $B$ на вектор $\vec{AA_1} = (0; 0; 1)$, следовательно, $B_1(2; 0; 1)$.

Теперь найдем направляющие векторы для прямых $BB_1$ и $DB_1$.

Направляющий вектор для прямой $BB_1$ — это вектор $\vec{v_1} = \vec{BB_1}$:

$\vec{v_1} = (2-2; 0-0; 1-0) = (0; 0; 1)$.

Направляющий вектор для прямой $DB_1$ — это вектор $\vec{v_2} = \vec{DB_1}$:

$\vec{v_2} = (2-0; 0-2; 1-0) = (2; -2; 1)$.

Косинус угла $\alpha$ между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами и вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0 \cdot 2 + 0 \cdot (-2) + 1 \cdot 1 = 1$.

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{v_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.

$|\vec{v_2}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \alpha = \frac{|1|}{1 \cdot 3} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

3. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 2, AD = 2, AA_1 = 1$, найдите косинус угла между прямыми $AB_1$ и $BC_1$;

A) $\frac{1}{3};$ B) $\frac{1}{4};$ C) $\frac{1}{5};$ D) $\frac{1}{6}.$

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AB = 2$

$AD = 2$

$AA_1 = 1$

Найти:

Косинус угла между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$.

Направим оси координат вдоль ребер параллелепипеда:

• Ось $Ox$ вдоль ребра $AB$.
• Ось $Oy$ вдоль ребра $AD$.
• Ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат найдем координаты вершин, определяющих прямые $AB_1$ и $BC_1$.

Координаты точек:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(2, 0, 0)$ (поскольку $AB=2$)
• $B_1(2, 0, 1)$ (поскольку $AA_1=1$)
• $C_1(2, 2, 1)$ (поскольку $AD=2$, $AB=2$, $AA_1=1$)

Теперь определим координаты направляющих векторов для прямых $AB_1$ и $BC_1$.

Вектор $\vec{AB_1}$ имеет координаты, равные разности координат его конца и начала:

$\vec{AB_1} = \{2-0, 0-0, 1-0\} = \{2, 0, 1\}$.

Аналогично для вектора $\vec{BC_1}$:

$\vec{BC_1} = \{2-2, 2-0, 1-0\} = \{0, 2, 1\}$.

Косинус угла $\alpha$ между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами. Косинус угла между векторами $\vec{a}=\{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{b}=\{x_2, y_2, z_2\}$ вычисляется по формуле:

$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{|x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1} = 2 \cdot 0 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 0 + 0 + 1 = 1$.

Найдем длины (модули) этих векторов:

$|\vec{AB_1}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{4+0+1} = \sqrt{5}$.

$|\vec{BC_1}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{0+4+1} = \sqrt{5}$.

Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos(\alpha) = \frac{|1|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.