Страница 64 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9.16. Повторите определение угла между прямой и плоскостью.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость. Величина этого угла φ всегда находится в пределах $0^\circ \le \phi \le 90^\circ$.
Рассмотрим три возможных случая взаимного расположения прямой a и плоскости α:
1. Если прямая пересекает плоскость и не перпендикулярна ей. Это основной случай. Пусть прямая a пересекает плоскость α в точке M. Чтобы построить её проекцию, выберем на прямой a любую другую точку N и опустим из неё перпендикуляр NH на плоскость α. Прямая MH будет ортогональной проекцией прямой a на плоскость α. Угол между прямой a (представленной наклонной NM) и её проекцией MH и является углом между прямой и плоскостью. Этот угол (∠NMH) является острым и имеет наименьшую величину среди всех углов между прямой a и любой прямой, лежащей в плоскости α и проходящей через точку M.
2. Если прямая параллельна плоскости или лежит в ней. В этом случае угол между прямой и её проекцией (которая параллельна прямой или совпадает с ней) считается равным $0^\circ$.
3. Если прямая перпендикулярна плоскости. Её проекцией на плоскость является точка (точка пересечения). В этом случае угол по определению равен $90^\circ$.

Ответ: Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной ей, называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Если прямая параллельна плоскости или лежит в ней, то угол считается равным $0^\circ$. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол равен $90^\circ$.

Найдите условие, при котором прямая параллельна плоскости или лежит в ней.

Чтобы найти условие, при котором прямая параллельна плоскости или лежит в ней, необходимо рассмотреть взаимное расположение их направляющего и нормального векторов.

Дано:

Пусть прямая l задана в пространстве своим каноническим уравнением:

$\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$

Здесь $M_0(x_0, y_0, z_0)$ — это точка, принадлежащая прямой, а вектор $\vec{s} = (l, m, n)$ — это направляющий вектор прямой.

Пусть плоскость П задана своим общим уравнением:

$Ax + By + Cz + D = 0$

Здесь вектор $\vec{n} = (A, B, C)$ — это нормальный вектор плоскости, то есть вектор, перпендикулярный этой плоскости.

Найти:

Найти условие, при котором прямая l параллельна плоскости П или лежит в ней.

Решение:

Прямая может быть параллельна плоскости или лежать в ней. В обоих этих случаях направляющий вектор прямой $\vec{s}$ будет перпендикулярен (ортогонален) нормальному вектору плоскости $\vec{n}$.

Геометрически это означает, что если вектор $\vec{n}$ перпендикулярен плоскости, а прямая параллельна этой плоскости (или лежит в ней), то вектор $\vec{n}$ также будет перпендикулярен направляющему вектору прямой $\vec{s}$.

Условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{s}$ и $\vec{n}$:

$\vec{s} \cdot \vec{n} = l \cdot A + m \cdot B + n \cdot C$

Приравняв это выражение к нулю, мы получим искомое условие:

$Al + Bm + Cn = 0$

Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы прямая была параллельна плоскости или лежала в ней. Чтобы различить эти два случая, нужно дополнительно проверить, принадлежит ли какая-либо точка прямой (например, $M_0$) данной плоскости.

• Если $Al + Bm + Cn = 0$ и $Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D \neq 0$, то прямая параллельна плоскости.
• Если $Al + Bm + Cn = 0$ и $Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D = 0$, то прямая лежит в плоскости.

Так как в вопросе требуется общее условие для обоих случаев, то достаточно только условия перпендикулярности векторов $\vec{s}$ и $\vec{n}$.

Ответ: Прямая, заданная направляющим вектором $\vec{s} = (l, m, n)$, параллельна плоскости, заданной нормальным вектором $\vec{n} = (A, B, C)$, или лежит в ней, если выполняется условие равенства нулю их скалярного произведения: $Al + Bm + Cn = 0$.

Какой угол образует ось $Ox$ и плоскость $yOz$?

Дано:

Прямоугольная система координат Oxyz.

Ось абсцисс Ox.

Координатная плоскость yOz.

Найти:

Угол между осью Ox и плоскостью yOz.

Решение:

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Для нахождения этого угла можно использовать как геометрические соображения, так и аналитический метод с использованием векторов.

1. Геометрический способ

В прямоугольной декартовой системе координат оси Ox, Oy и Oz по определению являются взаимно перпендикулярными. Это значит, что угол между любой парой координатных осей составляет $90^\circ$.

Плоскость yOz задаётся двумя пересекающимися осями: Oy и Oz.

Ось Ox перпендикулярна оси Oy и перпендикулярна оси Oz:

Ox $\perp$ Oy

Ox $\perp$ Oz

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Так как ось Ox перпендикулярна осям Oy и Oz, которые лежат в плоскости yOz и пересекаются в начале координат O, то ось Ox перпендикулярна всей плоскости yOz.

По определению, угол, который образует прямая с плоскостью, которой она перпендикулярна, равен $90^\circ$.

2. Аналитический (векторный) способ

Угол $\alpha$ между прямой (с направляющим вектором $\vec{s}$) и плоскостью (с вектором нормали $\vec{n}$) можно найти с помощью формулы:

$\sin \alpha = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|}$

В качестве направляющего вектора для оси Ox выберем единичный вектор $\vec{s} = \vec{i} = \{1; 0; 0\}$.

Плоскость yOz состоит из всех точек пространства, у которых координата $x$ равна нулю. Следовательно, уравнение этой плоскости имеет вид $x = 0$. В общем виде это уравнение можно записать как $1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = 0$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости, заданной уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, имеет координаты $\{A; B; C\}$. Для плоскости yOz ($x=0$) вектор нормали будет $\vec{n} = \{1; 0; 0\}$.

Теперь вычислим необходимые значения для формулы.

Скалярное произведение векторов:

$\vec{s} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 1$

Модули (длины) векторов:

$|\vec{s}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$

$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$

Подставим полученные значения в формулу для синуса угла:

$\sin \alpha = \frac{|1|}{1 \cdot 1} = 1$

Угол, синус которого равен 1, это $\alpha = 90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).

Оба метода показывают, что ось Ox перпендикулярна плоскости yOz.

Ответ: 90°.