Страница 65 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Как найти синус угла между прямой и плоскостью, заданными уравнениями?

2. В каком случае прямая и плоскость, заданные уравнениями, перпендикулярны?

Как найти синус угла между прямой и плоскостью, заданными уравнениями?

Решение:

Пусть в пространстве задана прямая своими каноническими уравнениями $ \frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{n} $. Ее направляющий вектор — это $ \vec{s} = \{l; m; n\} $.

Пусть плоскость задана общим уравнением $ Ax + By + Cz + D = 0 $. Ее вектор нормали — это $ \vec{n} = \{A; B; C\} $.

Угол $ \alpha $ между прямой и плоскостью по определению — это наименьший угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, поэтому $ 0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2} $.

Этот угол $ \alpha $ дополняет до $ 90^\circ $ (или $ \frac{\pi}{2} $ радиан) острый угол между направляющим вектором прямой $ \vec{s} $ и вектором нормали плоскости $ \vec{n} $. Пусть угол между векторами $ \vec{s} $ и $ \vec{n} $ равен $ \beta $. Тогда синус угла $ \alpha $ равен модулю косинуса угла $ \beta $.

$ \sin(\alpha) = |\cos(\beta)| $

Косинус угла между векторами $ \vec{s} $ и $ \vec{n} $ находится через их скалярное произведение:

$ \cos(\beta) = \frac{\vec{s} \cdot \vec{n}}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{lA + mB + nC}{\sqrt{l^2 + m^2 + n^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $

Объединяя эти формулы, получаем итоговое выражение для синуса угла между прямой и плоскостью. Модуль в числителе обеспечивает неотрицательность синуса, что соответствует определению угла $ \alpha $.

Ответ: Синус угла $ \alpha $ между прямой, заданной направляющим вектором $ \vec{s} = \{l; m; n\} $, и плоскостью, заданной вектором нормали $ \vec{n} = \{A; B; C\} $, вычисляется по формуле: $ \sin(\alpha) = \frac{|lA + mB + nC|}{\sqrt{l^2 + m^2 + n^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $.

2. В каком случае прямая и плоскость, заданные уравнениями, перпендикулярны?

Решение:

Прямая перпендикулярна плоскости тогда и только тогда, когда ее направляющий вектор коллинеарен (то есть параллелен) вектору нормали плоскости.

Пусть направляющий вектор прямой — $ \vec{s} = \{l; m; n\} $, а вектор нормали плоскости — $ \vec{n} = \{A; B; C\} $.

Условие коллинеарности двух ненулевых векторов заключается в том, что их соответствующие координаты пропорциональны. Это означает, что существует такое число $ k \neq 0 $, что $ \vec{s} = k \cdot \vec{n} $, или в координатной форме: $ l = kA, m = kB, n = kC $.

Ответ: Прямая и плоскость, заданные уравнениями, перпендикулярны, если координаты направляющего вектора прямой $ \vec{s}=\{l; m; n\} $ пропорциональны соответствующим координатам вектора нормали плоскости $ \vec{n}=\{A; B; C\} $. Это условие записывается в виде: $ \frac{A}{l} = \frac{B}{m} = \frac{C}{n} $. (Данное равенство означает, что если одна из координат в знаменателе равна нулю, то соответствующая координата в числителе также должна быть равна нулю).