Страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10.9. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ стороны основания равны 2 см, а высота равна 4 см (рис. 10.6). Найдите синус угла между плоскостью $SAB$ и прямой:

а) $BD$;

б) $SC$.

Рис. 10.6

Дано:

SABCDEF – правильная шестиугольная пирамида.
Сторона основания $a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.
Высота пирамиды $H = SO = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$.

Найти:

Синус угла между плоскостью $SAB$ и прямой:
а) $BD$
б) $SC$

Решение:

Угол $\phi$ между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Синус этого угла равен отношению расстояния от любой точки на прямой (не лежащей в плоскости) до плоскости, к расстоянию от этой точки до точки пересечения прямой с плоскостью.

а) BD

Пусть $\phi_a$ — угол между прямой $BD$ и плоскостью $(SAB)$. Прямая $BD$ пересекает плоскость $(SAB)$ в точке $B$. Возьмем на прямой $BD$ точку $D$. Тогда синус искомого угла можно найти по формуле:

$\sin(\phi_a) = \frac{d(D, (SAB))}{BD}$

где $d(D, (SAB))$ — расстояние от точки $D$ до плоскости $(SAB)$, а $BD$ — длина отрезка $BD$.

1. Найдем длину $BD$. В основании лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=2$ см. Диагональ $AD$ проходит через центр $O$ и равна $AD = 2a = 4$ см. Треугольник $ABD$ является прямоугольным, так как угол $\angle ABD = 90^\circ$ (это следует из того, что $\triangle OAB$ равносторонний и $\angle OAB = 60^\circ$, а $\triangle BCD$ равнобедренный с углом при вершине $120^\circ$, значит $\angle CBD = 30^\circ$, следовательно $\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$).По теореме Пифагора из $\triangle ABD$:$BD = \sqrt{AD^2 - AB^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см.

2. Найдем расстояние $d(D, (SAB))$, используя метод объемов для тетраэдра $S.ABD$.Объем тетраэдра $S.ABD$ можно вычислить как $V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABD} \cdot SO$.Площадь основания $\triangle ABD$:$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см$^2$.Тогда объем тетраэдра:$V = \frac{1}{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4 = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см$^3$.

С другой стороны, тот же объем можно выразить, приняв за основание грань $SAB$, а за высоту — расстояние от точки $D$ до плоскости $(SAB)$:$V = \frac{1}{3} \cdot S_{SAB} \cdot d(D, (SAB))$.Найдем площадь грани $SAB$. Это равнобедренный треугольник с основанием $AB=2$ см. Проведем апофему $SM$, где $M$ — середина $AB$. $SM$ — высота $\triangle SAB$.Сначала найдем апофему основания $OM$. В правильном шестиугольнике $OM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.Из прямоугольного треугольника $SOM$ найдем апофему пирамиды $SM$:$SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{4^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 3} = \sqrt{19}$ см.Площадь грани $SAB$:$S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{19} = \sqrt{19}$ см$^2$.

Теперь приравняем выражения для объема:$\frac{1}{3} \cdot \sqrt{19} \cdot d(D, (SAB)) = \frac{8\sqrt{3}}{3}$$d(D, (SAB)) = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$ см.

3. Вычислим синус угла:$\sin(\phi_a) = \frac{d(D, (SAB))}{BD} = \frac{8\sqrt{3}/\sqrt{19}}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{19}} = \frac{4\sqrt{19}}{19}$.

Ответ: $\frac{4\sqrt{19}}{19}$

б) SC

Пусть $\phi_b$ — угол между прямой $SC$ и плоскостью $(SAB)$. Прямая $SC$ пересекает плоскость $(SAB)$ в точке $S$. Возьмем на прямой $SC$ точку $C$. Тогда синус искомого угла можно найти по формуле:

$\sin(\phi_b) = \frac{d(C, (SAB))}{SC}$

где $d(C, (SAB))$ — расстояние от точки $C$ до плоскости $(SAB)$, а $SC$ — длина бокового ребра.

1. Найдем длину бокового ребра $SC$. Из прямоугольного треугольника $SOC$:$SC = \sqrt{SO^2 + OC^2}$.$OC$ — радиус описанной окружности основания, для правильного шестиугольника $R=a=2$ см.$SC = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.

2. Найдем расстояние $d(C, (SAB))$, используя метод объемов для тетраэдра $S.ABC$.Объем тетраэдра $S.ABC$ можно вычислить как $V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SO$.Найдем площадь треугольника $ABC$. В правильном шестиугольнике угол $\angle ABC = 120^\circ$. Стороны $AB=BC=2$ см.$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см$^2$.Тогда объем тетраэдра:$V = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot 4 = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см$^3$.

С другой стороны, тот же объем можно выразить, приняв за основание грань $SAB$, а за высоту — расстояние от точки $C$ до плоскости $(SAB)$:$V = \frac{1}{3} \cdot S_{SAB} \cdot d(C, (SAB))$.Площадь грани $S_{SAB}$ была найдена в пункте а): $S_{SAB} = \sqrt{19}$ см$^2$.

Приравняем выражения для объема:$\frac{1}{3} \cdot \sqrt{19} \cdot d(C, (SAB)) = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$d(C, (SAB)) = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$ см.

3. Вычислим синус угла:$\sin(\phi_b) = \frac{d(C, (SAB))}{SC} = \frac{4\sqrt{3}/\sqrt{19}}{2\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{19} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{95}} = \frac{2\sqrt{285}}{95}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{285}}{95}$

10.10. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ все ребра равны 2 см (рис. 10.7). Найдите синус угла между прямой $EB_1$ и плоскостью $ABD_1$.

Рис. 10.7

Дано:

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 2 см.

Перевод в СИ:
Длина ребра $a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.
Высота призмы $h = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.

Найти:

Синус угла $\alpha$ между прямой $EB_1$ и плоскостью $ABD_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат $O$ находится в центре нижнего основания $ABCDEF$. Ось $Ox$ направим вдоль луча $OD$, ось $Oy$ — перпендикулярно $Ox$ в плоскости основания, а ось $Oz$ — параллельно боковому ребру $AA_1$.

Так как призма правильная, в ее основании лежит правильный шестиугольник со стороной $a=2$. Высота призмы равна боковому ребру, $h=2$. Расстояние от центра правильного шестиугольника до его вершин равно стороне шестиугольника, то есть 2.

Определим координаты необходимых точек в этой системе координат:
Точки нижнего основания (лежат в плоскости $z=0$):
• $A$: находится на отрицательной части оси $Ox$, $A(-2, 0, 0)$.
• $B$: $B(2\cos(120^\circ), 2\sin(120^\circ), 0) = B(-1, \sqrt{3}, 0)$.
• $E$: $E(2\cos(-60^\circ), 2\sin(-60^\circ), 0) = E(1, -\sqrt{3}, 0)$.
Точки верхнего основания (лежат в плоскости $z=2$):
• $B_1$: имеет те же координаты $x$ и $y$, что и $B$, $z=2$. $B_1(-1, \sqrt{3}, 2)$.
• $D_1$: точка $D$ лежит на положительной части оси $Ox$, $D(2, 0, 0)$, тогда $D_1(2, 0, 2)$.

Найдем направляющий вектор $\vec{v}$ прямой $EB_1$:
$\vec{v} = \vec{EB_1} = \{x_{B_1} - x_E; y_{B_1} - y_E; z_{B_1} - z_E\} = \{-1 - 1; \sqrt{3} - (-\sqrt{3}); 2 - 0\} = \{-2, 2\sqrt{3}, 2\}$.
Для удобства вычислений можно использовать коллинеарный вектор, разделив координаты на 2: $\vec{v'} = \{-1, \sqrt{3}, 1\}$.

Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $ABD_1$. Для этого сначала найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AD_1}$:
$\vec{AB} = \{x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A\} = \{-1 - (-2); \sqrt{3} - 0; 0 - 0\} = \{1, \sqrt{3}, 0\}$.
$\vec{AD_1} = \{x_{D_1} - x_A; y_{D_1} - y_A; z_{D_1} - z_A\} = \{2 - (-2); 0 - 0; 2 - 0\} = \{4, 0, 2\}$.
Вектор нормали $\vec{n}$ перпендикулярен плоскости и находится как векторное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD_1}$:
$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & \sqrt{3} & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2\sqrt{3} - 0) - \mathbf{j}(2 - 0) + \mathbf{k}(0 - 4\sqrt{3}) = \{2\sqrt{3}, -2, -4\sqrt{3}\}$.
Упростим вектор нормали, разделив его на 2: $\vec{n'} = \{\sqrt{3}, -1, -2\sqrt{3}\}$.

Синус угла $\alpha$ между прямой и плоскостью вычисляется по формуле:
$\sin\alpha = \frac{|\vec{v'} \cdot \vec{n'}|}{|\vec{v'}| \cdot |\vec{n'}|}$.
Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{v'}$ и $\vec{n'}$:
$\vec{v'} \cdot \vec{n'} = (-1) \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot (-1) + 1 \cdot (-2\sqrt{3}) = -\sqrt{3} - \sqrt{3} - 2\sqrt{3} = -4\sqrt{3}$.
Вычислим модули векторов:
$|\vec{v'}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 3 + 1} = \sqrt{5}$.
$|\vec{n'}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 1 + 12} = \sqrt{16} = 4$.
Теперь подставим найденные значения в формулу для синуса угла:
$\sin\alpha = \frac{|-4\sqrt{3}|}{\sqrt{5} \cdot 4} = \frac{4\sqrt{3}}{4\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{5}$.

10.11. Повторите определение расстояния от точки до плоскости.

Решение

Определение расстояния от точки до плоскости является фундаментальным понятием в стереометрии. Рассмотрим его подробно.

Пусть в пространстве задана точка $M$ и плоскость $\alpha$. Возможны два случая:

1. Точка лежит на плоскости. Если точка $M$ принадлежит плоскости $\alpha$ (пишется $M \in \alpha$), то расстояние от точки до плоскости по определению считается равным нулю.

2. Точка не лежит на плоскости. Если точка $M$ не принадлежит плоскости $\alpha$ ($M \notin \alpha$), то для нахождения расстояния необходимо выполнить следующее построение:

Из точки $M$ опускается перпендикуляр на плоскость $\alpha$. Перпендикуляром из точки на плоскость называется отрезок, соединяющий эту точку с точкой на плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной этой плоскости. Обозначим основание этого перпендикуляра (точку его пересечения с плоскостью) как $H$. Точка $H$ также называется ортогональной проекцией точки $M$ на плоскость $\alpha$.

Расстоянием от точки $M$ до плоскости $\alpha$ называется длина перпендикуляра $MH$, проведенного из точки $M$ к плоскости $\alpha$.

Это расстояние является кратчайшим из всех возможных расстояний от точки $M$ до любой точки, лежащей на плоскости $\alpha$. Любой другой отрезок $MK$, где $K$ — произвольная точка плоскости $\alpha$, отличная от $H$, называется наклонной. В прямоугольном треугольнике $MHK$ (угол $\angle MHK = 90^\circ$) отрезок $MH$ является катетом, а наклонная $MK$ — гипотенузой. Следовательно, $|MH| < |MK|$.

Нахождение расстояния с помощью координат

Если в пространстве введена прямоугольная система координат, и точка задана своими координатами $M(x_0, y_0, z_0)$, а плоскость $\alpha$ — общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, то расстояние $d$ от точки $M$ до плоскости $\alpha$ можно вычислить по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Эта формула позволяет найти расстояние аналитически, без геометрических построений.

Ответ: Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Если точка принадлежит плоскости, то расстояние от неё до плоскости равно нулю.