Задания, страница 64 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Найдите условие, при котором прямая параллельна плоскости или лежит в ней.

Чтобы найти условие, при котором прямая параллельна плоскости или лежит в ней, необходимо рассмотреть взаимное расположение их направляющего и нормального векторов.

Дано:

Пусть прямая l задана в пространстве своим каноническим уравнением:

$\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$

Здесь $M_0(x_0, y_0, z_0)$ — это точка, принадлежащая прямой, а вектор $\vec{s} = (l, m, n)$ — это направляющий вектор прямой.

Пусть плоскость П задана своим общим уравнением:

$Ax + By + Cz + D = 0$

Здесь вектор $\vec{n} = (A, B, C)$ — это нормальный вектор плоскости, то есть вектор, перпендикулярный этой плоскости.

Найти:

Найти условие, при котором прямая l параллельна плоскости П или лежит в ней.

Решение:

Прямая может быть параллельна плоскости или лежать в ней. В обоих этих случаях направляющий вектор прямой $\vec{s}$ будет перпендикулярен (ортогонален) нормальному вектору плоскости $\vec{n}$.

Геометрически это означает, что если вектор $\vec{n}$ перпендикулярен плоскости, а прямая параллельна этой плоскости (или лежит в ней), то вектор $\vec{n}$ также будет перпендикулярен направляющему вектору прямой $\vec{s}$.

Условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{s}$ и $\vec{n}$:

$\vec{s} \cdot \vec{n} = l \cdot A + m \cdot B + n \cdot C$

Приравняв это выражение к нулю, мы получим искомое условие:

$Al + Bm + Cn = 0$

Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы прямая была параллельна плоскости или лежала в ней. Чтобы различить эти два случая, нужно дополнительно проверить, принадлежит ли какая-либо точка прямой (например, $M_0$) данной плоскости.

• Если $Al + Bm + Cn = 0$ и $Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D \neq 0$, то прямая параллельна плоскости.
• Если $Al + Bm + Cn = 0$ и $Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D = 0$, то прямая лежит в плоскости.

Так как в вопросе требуется общее условие для обоих случаев, то достаточно только условия перпендикулярности векторов $\vec{s}$ и $\vec{n}$.

Ответ: Прямая, заданная направляющим вектором $\vec{s} = (l, m, n)$, параллельна плоскости, заданной нормальным вектором $\vec{n} = (A, B, C)$, или лежит в ней, если выполняется условие равенства нулю их скалярного произведения: $Al + Bm + Cn = 0$.