Номер 9.15, страница 63 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9.15. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 2 см (рис. 9.8). Найдите косинус угла между плоскостями $ABC_1$ и $BCD_1$.

63

Рис. 9.8

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех ребер равна $a = 2$ см.

$a = 0.02$ м.

Найти:

Косинус угла $\theta$ между плоскостями $(ABC_1)$ и $(BCD_1)$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Косинус этого угла $\theta$ вычисляется по формуле:
$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$
где $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ — нормальные векторы к плоскостям $(ABC_1)$ и $(BCD_1)$ соответственно.

Введем прямоугольную систему координат. Пусть центр нижнего основания призмы $O$ совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль высоты призмы, а ось $Ox$ проведем через вершину $A$. Так как призма правильная, в ее основании лежит правильный шестиугольник. Длина ребра основания и боковое ребро равны $a=2$. Отметим, что для нахождения косинуса угла фактическая длина ребра не важна, так как она сократится при вычислениях, поэтому для удобства будем использовать $a=2$.

Найдем координаты вершин, необходимых для определения плоскостей. В правильном шестиугольнике со стороной $a$ расстояние от центра до любой вершины равно $a$.
Точка $A$: лежит на оси $Ox$ на расстоянии $a=2$ от начала координат. $A(2, 0, 0)$.
Точка $B$: получается поворотом точки $A$ на $60^\circ$ вокруг оси $Oz$. $B(2\cos(60^\circ), 2\sin(60^\circ), 0) = B(2 \cdot \frac{1}{2}, 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = B(1, \sqrt{3}, 0)$.
Точка $C$: получается поворотом точки $A$ на $120^\circ$ вокруг оси $Oz$. $C(2\cos(120^\circ), 2\sin(120^\circ), 0) = C(2 \cdot (-\frac{1}{2}), 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = C(-1, \sqrt{3}, 0)$.
Точка $C_1$: лежит в верхнем основании над точкой $C$, высота призмы $h=a=2$. $C_1(-1, \sqrt{3}, 2)$.
Точка $D_1$: точка $D$ получается поворотом $A$ на $180^\circ$, $D(-2,0,0)$. Точка $D_1$ лежит в верхнем основании. $D_1(-2, 0, 2)$.

Теперь найдем нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости $(ABC_1)$. Для этого найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC_1}$, и вычислим их векторное произведение.
$\vec{AB} = (1-2, \sqrt{3}-0, 0-0) = (-1, \sqrt{3}, 0)$.
$\vec{AC_1} = (-1-2, \sqrt{3}-0, 2-0) = (-3, \sqrt{3}, 2)$.
$\vec{n_1} = \vec{AB} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & \sqrt{3} & 0 \\ -3 & \sqrt{3} & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2\sqrt{3}-0) - \mathbf{j}(-2-0) + \mathbf{k}(-\sqrt{3} - (-3\sqrt{3})) = (2\sqrt{3}, 2, 2\sqrt{3})$.
Для удобства можно использовать коллинеарный ему вектор, разделив координаты на 2: $\vec{n_1'} = (\sqrt{3}, 1, \sqrt{3})$.

Далее найдем нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $(BCD_1)$. Найдем векторы $\vec{BC}$ и $\vec{BD_1}$.
$\vec{BC} = (-1-1, \sqrt{3}-\sqrt{3}, 0-0) = (-2, 0, 0)$.
$\vec{BD_1} = (-2-1, 0-\sqrt{3}, 2-0) = (-3, -\sqrt{3}, 2)$.
$\vec{n_2} = \vec{BC} \times \vec{BD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 0 & 0 \\ -3 & -\sqrt{3} & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0-0) - \mathbf{j}(-4-0) + \mathbf{k}(2\sqrt{3}-0) = (0, 4, 2\sqrt{3})$.
Для удобства можно использовать коллинеарный ему вектор, разделив координаты на 2: $\vec{n_2'} = (0, 2, \sqrt{3})$.

Теперь вычислим косинус угла между нормальными векторами $\vec{n_1'}$ и $\vec{n_2'}$.
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{n_1'} \cdot \vec{n_2'} = (\sqrt{3} \cdot 0) + (1 \cdot 2) + (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 0 + 2 + 3 = 5$.
Найдем модули векторов:
$||\vec{n_1'}|| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3+1+3} = \sqrt{7}$.
$||\vec{n_2'}|| = \sqrt{0^2 + 2^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{0+4+3} = \sqrt{7}$.
Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1'} \cdot \vec{n_2'}|}{||\vec{n_1'}|| \cdot ||\vec{n_2'}||} = \frac{|5|}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{5}{7}$.

Ответ: $\frac{5}{7}$.