Номер 9.8, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9.8. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB=4, AD=3, AA_1=3$, найдите косинус угла между плоскостями $BCD_1$ и $ADC_1$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AB = 4$

$AD = 3$

$AA_1 = 3$

Найти:

Косинус угла между плоскостями $BCD_1$ и $ADC_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AD$, ось $Oy$ вдоль ребра $AB$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Исходя из длин ребер $AD=3$, $AB=4$ и $AA_1=3$, определим координаты вершин, необходимых для построения плоскостей:

$A(0, 0, 0)$

$B(0, 4, 0)$

$D(3, 0, 0)$

$C(3, 4, 0)$ (так как основание - прямоугольник, $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$)

$C_1(3, 4, 3)$

$D_1(3, 0, 3)$

Угол между двумя плоскостями равен углу между их векторами нормали. Найдем векторы нормали для плоскостей $BCD_1$ и $ADC_1$.

1. Нахождение вектора нормали к плоскости $BCD_1$

Данная плоскость проходит через точки $B(0, 4, 0)$, $C(3, 4, 0)$ и $D_1(3, 0, 3)$. Найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{CB}$ и $\vec{CD_1}$.

$\vec{CB} = (0-3, 4-4, 0-0) = (-3, 0, 0)$

$\vec{CD_1} = (3-3, 0-4, 3-0) = (0, -4, 3)$

Вектор нормали $\vec{n_1}$ является векторным произведением этих векторов:

$\vec{n_1} = \vec{CB} \times \vec{CD_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 3 - 0 \cdot (-4)) - \vec{j}((-3) \cdot 3 - 0 \cdot 0) + \vec{k}((-3) \cdot (-4) - 0 \cdot 0) = 0\vec{i} + 9\vec{j} + 12\vec{k}$

Итак, $\vec{n_1} = (0, 9, 12)$.

2. Нахождение вектора нормали к плоскости $ADC_1$

Данная плоскость проходит через точки $A(0, 0, 0)$, $D(3, 0, 0)$ и $C_1(3, 4, 3)$. Найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{AD}$ и $\vec{AC_1}$.

$\vec{AD} = (3-0, 0-0, 0-0) = (3, 0, 0)$

$\vec{AC_1} = (3-0, 4-0, 3-0) = (3, 4, 3)$

Вектор нормали $\vec{n_2}$ является векторным произведением этих векторов:

$\vec{n_2} = \vec{AD} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 3 - 0 \cdot 4) - \vec{j}(3 \cdot 3 - 0 \cdot 3) + \vec{k}(3 \cdot 4 - 0 \cdot 3) = 0\vec{i} - 9\vec{j} + 12\vec{k}$

Итак, $\vec{n_2} = (0, -9, 12)$.

3. Вычисление косинуса угла между плоскостями

Косинус угла $\alpha$ между плоскостями вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(0) + (9)(-9) + (12)(12) = 0 - 81 + 144 = 63$

Найдем модули (длины) векторов:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{0^2 + 9^2 + 12^2} = \sqrt{0 + 81 + 144} = \sqrt{225} = 15$

$|\vec{n_2}| = \sqrt{0^2 + (-9)^2 + 12^2} = \sqrt{0 + 81 + 144} = \sqrt{225} = 15$

Подставим найденные значения в формулу:

$\cos \alpha = \frac{|63|}{15 \cdot 15} = \frac{63}{225}$

Сократим дробь на 9:

$\cos \alpha = \frac{63 \div 9}{225 \div 9} = \frac{7}{25}$

Ответ: $7/25$.