Номер 9.6, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9.6. Найдите косинус угла между плоскостями, заданными уравнениями:

a) $x + y + z - 1 = 0$, $x - y + z + 1 = 0$;

б) $2x - 3y + 6z - 5 = 0$, $4x + 4y + 2z + 7 = 0$.

а)

Дано:

Уравнение первой плоскости: $x + y + z - 1 = 0$.

Уравнение второй плоскости: $x - y + z + 1 = 0$.

Найти:

Косинус угла $\phi$ между плоскостями.

Решение:

Угол между двумя плоскостями, заданными общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, равен углу между их нормальными векторами $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$.

Косинус этого угла вычисляется по формуле:

$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$

Для первой плоскости $x + y + z - 1 = 0$ нормальный вектор имеет координаты $\vec{n_1} = (1, 1, 1)$.

Для второй плоскости $x - y + z + 1 = 0$ нормальный вектор имеет координаты $\vec{n_2} = (1, -1, 1)$.

Найдем скалярное произведение нормальных векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 1 - 1 + 1 = 1$.

Найдем модули (длины) нормальных векторов:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

$|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Подставим полученные значения в формулу:

$\cos \phi = \frac{|1|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

б)

Дано:

Уравнение первой плоскости: $2x - 3y + 6z - 5 = 0$.

Уравнение второй плоскости: $4x + 4y + 2z + 7 = 0$.

Найти:

Косинус угла $\phi$ между плоскостями.

Решение:

Для первой плоскости $2x - 3y + 6z - 5 = 0$ нормальный вектор имеет координаты $\vec{n_1} = (2, -3, 6)$.

Для второй плоскости $4x + 4y + 2z + 7 = 0$ нормальный вектор имеет координаты $\vec{n_2} = (4, 4, 2)$.

Найдем скалярное произведение нормальных векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 4 + (-3) \cdot 4 + 6 \cdot 2 = 8 - 12 + 12 = 8$.

Найдем модули нормальных векторов:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.

$|\vec{n_2}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6$.

Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|8|}{7 \cdot 6} = \frac{8}{42} = \frac{4}{21}$.

Ответ: $\frac{4}{21}$.