Номер 9.7, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9.7. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1 B_1 C_1 D_1$, у которого $AB=4, AD=3, AA_1=3$, найдите косинус угла между плоскостями $ABC$ и:

а) $ABC_1$;

б) $ADC_1$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Направим ось Ox вдоль ребра $AB$, ось Oy вдоль ребра $AD$ и ось Oz вдоль ребра $AA_1$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AB = 4$

$AD = 3$

$AA_1 = 3$

Данные представлены в условных единицах длины, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

a) косинус угла между плоскостями $ABC$ и $ABC_1$

б) косинус угла между плоскостями $ABC$ и $ADC_1$

Решение:

В выбранной системе координат вершины параллелепипеда, необходимые для решения, имеют следующие координаты:

$A(0, 0, 0)$

$B(4, 0, 0)$

$D(0, 3, 0)$

$C_1(4, 3, 3)$

Косинус угла $\phi$ между двумя плоскостями можно найти по формуле, использующей векторы нормали $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ к этим плоскостям:

$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$

Плоскость $ABC$ совпадает с плоскостью $Oxy$, ее уравнение $z=0$. Вектор нормали к этой плоскости $\vec{n}_{ABC} = (0, 0, 1)$.

a) ABC₁

Найдем косинус угла между плоскостями $ABC$ и $ABC_1$. Плоскость $ABC_1$ проходит через точки $A(0, 0, 0)$, $B(4, 0, 0)$ и $C_1(4, 3, 3)$. Два вектора, лежащие в этой плоскости, — это $\vec{AB} = (4-0, 0-0, 0-0) = (4, 0, 0)$ и $\vec{AC_1} = (4-0, 3-0, 3-0) = (4, 3, 3)$.

Вектор нормали $\vec{n}_{ABC_1}$ к плоскости $ABC_1$ найдем как векторное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC_1}$:

$\vec{n}_{ABC_1} = \vec{AB} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 0 & 0 \\ 4 & 3 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 3 - 0 \cdot 3) - \vec{j}(4 \cdot 3 - 0 \cdot 4) + \vec{k}(4 \cdot 3 - 0 \cdot 4) = (0, -12, 12)$.

Для удобства вычислений можно использовать коллинеарный вектор, разделив координаты на 12: $\vec{n'}_{ABC_1} = (0, -1, 1)$.

Теперь найдем косинус угла $\phi_a$ между плоскостями:

$\cos \phi_a = \frac{|\vec{n}_{ABC} \cdot \vec{n'}_{ABC_1}|}{|\vec{n}_{ABC}| \cdot |\vec{n'}_{ABC_1}|} = \frac{|(0, 0, 1) \cdot (0, -1, 1)|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2} \cdot \sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}} = \frac{|0 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 1|}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

б) ADC₁

Найдем косинус угла между плоскостями $ABC$ и $ADC_1$. Вектор нормали к плоскости $ABC$ нам известен: $\vec{n}_{ABC} = (0, 0, 1)$.

Плоскость $ADC_1$ проходит через точки $A(0, 0, 0)$, $D(0, 3, 0)$ и $C_1(4, 3, 3)$. Два вектора, лежащие в этой плоскости, — это $\vec{AD} = (0-0, 3-0, 0-0) = (0, 3, 0)$ и $\vec{AC_1} = (4-0, 3-0, 3-0) = (4, 3, 3)$.

Вектор нормали $\vec{n}_{ADC_1}$ к плоскости $ADC_1$ найдем как векторное произведение векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AC_1}$:

$\vec{n}_{ADC_1} = \vec{AD} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 3 & 0 \\ 4 & 3 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(3 \cdot 3 - 0 \cdot 3) - \vec{j}(0 \cdot 3 - 0 \cdot 4) + \vec{k}(0 \cdot 3 - 3 \cdot 4) = (9, 0, -12)$.

Для удобства вычислений можно использовать коллинеарный вектор, разделив координаты на 3: $\vec{n'}_{ADC_1} = (3, 0, -4)$.

Теперь найдем косинус угла $\phi_b$ между плоскостями:

$\cos \phi_b = \frac{|\vec{n}_{ABC} \cdot \vec{n'}_{ADC_1}|}{|\vec{n}_{ABC}| \cdot |\vec{n'}_{ADC_1}|} = \frac{|(0, 0, 1) \cdot (3, 0, -4)|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2} \cdot \sqrt{3^2+0^2+(-4)^2}} = \frac{|0 \cdot 3 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-4)|}{1 \cdot \sqrt{9+16}} = \frac{|-4|}{1 \cdot \sqrt{25}} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$