Номер 9.9, страница 63 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9.9. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCD A_1B_1C_1D_1$, у которого $AB=3, AD=2, AA_1=1$, найдите косинус угла между плоскостями $ACD_1$ и:
a) $ABC$;
б) $ADD_1$;
в) $CDD_1$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AB = 3$

$AD = 2$

$AA_1 = 1$

Найти:

Косинус угла между плоскостью $ACD_1$ и плоскостями:

а) $ABC$

б) $ADD_1$

в) $CDD_1$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат вершины параллелепипеда, необходимые для решения, будут иметь следующие координаты:

$A(0, 0, 0)$

$C(3, 2, 0)$ (так как $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$)

$D_1(0, 2, 1)$ (так как $\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1}$)

Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Косинус этого угла $\theta$ можно найти по формуле:

$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$

Сначала найдем вектор нормали $\vec{n}_{ACD_1}$ к плоскости $ACD_1$. Эта плоскость проходит через точки $A(0,0,0)$, $C(3,2,0)$ и $D_1(0,2,1)$.

Для этого найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, с началом в точке A:

$\vec{AC} = C - A = (3, 2, 0)$

$\vec{AD_1} = D_1 - A = (0, 2, 1)$

Вектор нормали $\vec{n}_{ACD_1}$ перпендикулярен этим векторам и может быть найден как их векторное произведение:

$\vec{n}_{ACD_1} = \vec{AC} \times \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 2) - \mathbf{j}(3 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(3 \cdot 2 - 0 \cdot 2) = 2\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 6\mathbf{k}$

Таким образом, вектор нормали к плоскости $ACD_1$ есть $\vec{n}_{ACD_1} = (2, -3, 6)$.

Найдем модуль (длину) этого вектора:

$|\vec{n}_{ACD_1}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.

Теперь последовательно найдем косинусы углов между плоскостью $ACD_1$ и заданными плоскостями.

а) Найдем косинус угла между плоскостями $ACD_1$ и $ABC$.

Плоскость $ABC$ совпадает с координатной плоскостью $Oxy$. Уравнение этой плоскости $z=0$. Вектор нормали к этой плоскости $\vec{n}_{ABC} = (0, 0, 1)$. Его модуль $|\vec{n}_{ABC}| = 1$.

Найдем скалярное произведение векторов нормалей:

$\vec{n}_{ACD_1} \cdot \vec{n}_{ABC} = (2, -3, 6) \cdot (0, 0, 1) = 2 \cdot 0 + (-3) \cdot 0 + 6 \cdot 1 = 6$.

Теперь найдем косинус угла:

$\cos(\angle(ACD_1, ABC)) = \frac{|\vec{n}_{ACD_1} \cdot \vec{n}_{ABC}|}{|\vec{n}_{ACD_1}| \cdot |\vec{n}_{ABC}|} = \frac{|6|}{7 \cdot 1} = \frac{6}{7}$.

Ответ: $\frac{6}{7}$.

б) Найдем косинус угла между плоскостями $ACD_1$ и $ADD_1$.

Плоскость $ADD_1$ (грань $ADD_1A_1$) совпадает с координатной плоскостью $Oyz$. Уравнение этой плоскости $x=0$. Вектор нормали к этой плоскости $\vec{n}_{ADD_1} = (1, 0, 0)$. Его модуль $|\vec{n}_{ADD_1}| = 1$.

Найдем скалярное произведение векторов нормалей:

$\vec{n}_{ACD_1} \cdot \vec{n}_{ADD_1} = (2, -3, 6) \cdot (1, 0, 0) = 2 \cdot 1 + (-3) \cdot 0 + 6 \cdot 0 = 2$.

Теперь найдем косинус угла:

$\cos(\angle(ACD_1, ADD_1)) = \frac{|\vec{n}_{ACD_1} \cdot \vec{n}_{ADD_1}|}{|\vec{n}_{ACD_1}| \cdot |\vec{n}_{ADD_1}|} = \frac{|2|}{7 \cdot 1} = \frac{2}{7}$.

Ответ: $\frac{2}{7}$.

в) Найдем косинус угла между плоскостями $ACD_1$ и $CDD_1$.

Плоскость $CDD_1$ является гранью $CDD_1C_1$. Все точки этой грани, включая $D(0,2,0)$, $C(3,2,0)$, $D_1(0,2,1)$, $C_1(3,2,1)$, имеют координату $y=2$. Таким образом, уравнение плоскости $y=2$. Вектор нормали к этой плоскости $\vec{n}_{CDD_1} = (0, 1, 0)$. Его модуль $|\vec{n}_{CDD_1}| = 1$.

Найдем скалярное произведение векторов нормалей:

$\vec{n}_{ACD_1} \cdot \vec{n}_{CDD_1} = (2, -3, 6) \cdot (0, 1, 0) = 2 \cdot 0 + (-3) \cdot 1 + 6 \cdot 0 = -3$.

Теперь найдем косинус угла:

$\cos(\angle(ACD_1, CDD_1)) = \frac{|\vec{n}_{ACD_1} \cdot \vec{n}_{CDD_1}|}{|\vec{n}_{ACD_1}| \cdot |\vec{n}_{CDD_1}|} = \frac{|-3|}{7 \cdot 1} = \frac{3}{7}$.

Ответ: $\frac{3}{7}$.