Номер 9.4, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9.4. Определите, какие из перечисленных ниже пар плоскостей параллельны между собой:

а) $x + 2y + z - 1 = 0$, $x + 2y + z + 1 = 0$;

б) $x + y + 3z - 2 = 0$, $x + y - 3z - 2 = 0$;

в) $-3x + y + 2z = 0$, $3x - y - 2z - 1 = 0$;

г) $2x + 4y + 6z - 10 = 0$, $-x - 2y - 3z + 5 = 0$.

Две плоскости, заданные общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, являются параллельными, если их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ коллинеарны.

Условие коллинеарности векторов — это пропорциональность их соответствующих координат:$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = k$.

Если при этом и свободные члены пропорциональны с тем же коэффициентом, то есть $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2}$, то плоскости совпадают. Совпадающие плоскости являются частным случаем параллельных плоскостей. Если же отношение свободных членов не равно коэффициенту пропорциональности координат, то плоскости параллельны, но не совпадают.

Проверим каждую пару плоскостей на выполнение этого условия.

а) $x + 2y + z - 1 = 0$, $x + 2y + z + 1 = 0$

Решение

Для первой плоскости нормальный вектор $\vec{n_1} = (1, 2, 1)$ и свободный член $D_1 = -1$.

Для второй плоскости нормальный вектор $\vec{n_2} = (1, 2, 1)$ и свободный член $D_2 = 1$.

Найдем отношения координат нормальных векторов:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{1} = 1$

$\frac{B_1}{B_2} = \frac{2}{2} = 1$

$\frac{C_1}{C_2} = \frac{1}{1} = 1$

Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = 1$, нормальные векторы коллинеарны, а значит, плоскости параллельны.

Теперь проверим отношение свободных членов:

$\frac{D_1}{D_2} = \frac{-1}{1} = -1$

Поскольку коэффициент пропорциональности координат ($1$) не равен отношению свободных членов ($-1$), плоскости параллельны и не совпадают.

Ответ: Плоскости параллельны.

б) $x + y + 3z - 2 = 0$, $x + y - 3z - 2 = 0$

Решение

Для первой плоскости нормальный вектор $\vec{n_1} = (1, 1, 3)$.

Для второй плоскости нормальный вектор $\vec{n_2} = (1, 1, -3)$.

Найдем отношения координат нормальных векторов:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{1} = 1$

$\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{1} = 1$

$\frac{C_1}{C_2} = \frac{3}{-3} = -1$

Так как отношения координат не равны между собой ($1 = 1 \neq -1$), нормальные векторы не являются коллинеарными.

Ответ: Плоскости не параллельны.

в) $-3x + y + 2z = 0$, $3x - y - 2z - 1 = 0$

Решение

Для первой плоскости нормальный вектор $\vec{n_1} = (-3, 1, 2)$ и $D_1 = 0$.

Для второй плоскости нормальный вектор $\vec{n_2} = (3, -1, -2)$ и $D_2 = -1$.

Найдем отношения координат нормальных векторов:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{-3}{3} = -1$

$\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{-1} = -1$

$\frac{C_1}{C_2} = \frac{2}{-2} = -1$

Отношения равны, коэффициент пропорциональности $k = -1$. Следовательно, нормальные векторы коллинеарны, и плоскости параллельны.

Проверим, совпадают ли плоскости. Для этого сравним $D_1$ и $k \cdot D_2$.

$D_1 = 0$, $k \cdot D_2 = (-1) \cdot (-1) = 1$.

Поскольку $D_1 \neq k \cdot D_2$ ($0 \neq 1$), плоскости не совпадают.

Ответ: Плоскости параллельны.

г) $2x + 4y + 6z - 10 = 0$, $-x - 2y - 3z + 5 = 0$

Решение

Для первой плоскости нормальный вектор $\vec{n_1} = (2, 4, 6)$ и $D_1 = -10$.

Для второй плоскости нормальный вектор $\vec{n_2} = (-1, -2, -3)$ и $D_2 = 5$.

Найдем отношения координат нормальных векторов:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{2}{-1} = -2$

$\frac{B_1}{B_2} = \frac{4}{-2} = -2$

$\frac{C_1}{C_2} = \frac{6}{-3} = -2$

Отношения равны, коэффициент пропорциональности $k = -2$. Нормальные векторы коллинеарны, значит, плоскости параллельны.

Проверим отношение свободных членов:

$\frac{D_1}{D_2} = \frac{-10}{5} = -2$

Так как отношение свободных членов равно коэффициенту пропорциональности координат ($k=-2$), то все коэффициенты уравнений пропорциональны. Это означает, что уравнения описывают одну и ту же плоскость.

Ответ: Плоскости параллельны (совпадают).