Номер 9.2, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9.2. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки $A_0(-1; 0; 0)$, $B_0(0; 2; 0)$, $C_0(0; 0; 3);$

Дано:
Точка $A_0(-1; 0; 0)$
Точка $B_0(0; 2; 0)$
Точка $C_0(0; 0; 3)$
Координаты даны в безразмерных единицах, перевод в СИ не требуется.

Найти:
Уравнение плоскости, проходящей через точки $A_0$, $B_0$, $C_0$.

Решение:
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки $M_1(x_1, y_1, z_1)$, $M_2(x_2, y_2, z_2)$ и $M_3(x_3, y_3, z_3)$, можно найти, используя условие компланарности (принадлежности одной плоскости) трех векторов: $\vec{M_1M}$, $\vec{M_1M_2}$ и $\vec{M_1M_3}$, где $M(x, y, z)$ — произвольная точка плоскости. Три вектора компланарны, если их смешанное произведение равно нулю. Смешанное произведение можно вычислить через определитель, составленный из координат этих векторов.
Уравнение плоскости имеет вид: $$ \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0 $$ Примем за точку $M_1$ точку $A_0(-1; 0; 0)$, за $M_2$ — точку $B_0(0; 2; 0)$, и за $M_3$ — точку $C_0(0; 0; 3)$.
Подставим координаты этих точек:
$x_1 = -1, y_1 = 0, z_1 = 0$
$x_2 = 0, y_2 = 2, z_2 = 0$
$x_3 = 0, y_3 = 0, z_3 = 3$

Найдем координаты векторов для второй и третьей строк определителя:
$\vec{A_0B_0} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (0 - (-1), 2 - 0, 0 - 0) = (1, 2, 0)$
$\vec{A_0C_0} = (x_3 - x_1, y_3 - y_1, z_3 - z_1) = (0 - (-1), 0 - 0, 3 - 0) = (1, 0, 3)$

Теперь составим определитель, подставив в первую строку координаты вектора $\vec{A_0M} = (x-(-1), y-0, z-0)$: $$ \begin{vmatrix} x + 1 & y & z \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 0 $$ Раскроем определитель по первой строке: $$ (x+1) \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} - y \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + z \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 $$ Вычислим определители второго порядка: $$ (x+1)(2 \cdot 3 - 0 \cdot 0) - y(1 \cdot 3 - 0 \cdot 1) + z(1 \cdot 0 - 2 \cdot 1) = 0 $$ $$ (x+1)(6) - y(3) + z(-2) = 0 $$ Раскроем скобки и упростим выражение: $$ 6x + 6 - 3y - 2z = 0 $$ Запишем уравнение в общем виде $Ax + By + Cz + D = 0$: $$ 6x - 3y - 2z + 6 = 0 $$ Это и есть искомое уравнение плоскости.
Ответ: $6x - 3y - 2z + 6 = 0$.