Страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Попробуйте определить понятие наклонного цилиндра.

Наклонным цилиндром называется геометрическое тело, которое, подобно прямому цилиндру, состоит из двух равных оснований, лежащих в параллельных плоскостях, и боковой поверхности. Боковая поверхность образована множеством параллельных друг другу отрезков, называемых образующими, которые соединяют соответствующие точки границ оснований.

Ключевое отличие наклонного цилиндра от прямого заключается в том, что его образующие не перпендикулярны плоскостям оснований, а наклонены к ним под некоторым углом $\alpha$, отличным от $90^\circ$.

Рассмотрим основные элементы и свойства наклонного цилиндра:

Основания — это две равные плоские фигуры (в классическом случае — круги радиусом $R$), лежащие в параллельных плоскостях.

Образующие — это равные и параллельные друг другу отрезки, соединяющие контуры оснований. Длина образующей обозначается буквой $l$.

Высота ($h$) — это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на плоскость другого основания. Иными словами, это кратчайшее расстояние между плоскостями оснований. В наклонном цилиндре высота всегда меньше длины образующей ($h < l$). Они связаны соотношением $h = l \cdot \sin(\alpha)$, где $\alpha$ — это острый угол между образующей и плоскостью основания.

Ось — это отрезок, соединяющий центры оснований. В отличие от прямого цилиндра, у наклонного ось не перпендикулярна основаниям, и её длина не равна высоте.

Несмотря на "наклон", формула для вычисления объёма наклонного цилиндра такая же, как и для прямого, что следует из принципа Кавальери. Объём равен произведению площади основания на высоту:
$V = S_{осн} \cdot h$
Если основание — это круг, то формула принимает вид:
$V = \pi R^2 h$

В качестве наглядной модели наклонного цилиндра можно представить стопку одинаковых монет, которую сдвинули в сторону так, что она наклонилась, но при этом все монеты остались параллельны друг другу.

Ответ:Наклонный цилиндр — это цилиндр, у которого образующие (отрезки, формирующие его боковую поверхность) наклонены к плоскостям его оснований под углом, не равным $90^\circ$.

Вопросы

1. Какое преобразование пространства называется поворотом вокруг прямой?

2. Какая фигура называется фигурой вращения?

3. Какая фигура называется цилиндром?

4. Что называется осью цилиндра?

5. Что называется основаниями цилиндра?

6. Какая фигура называется боковой поверхностью цилиндра?

7. Какие отрезки называются образующими цилиндра?

8. Что называется высотой цилиндра?

9. Что называется осевым сечением цилиндра?

10. Что называется разверткой цилиндра?

11. Что называется площадью поверхности цилиндра?

12. Что называется площадью боковой поверхности цилиндра?

13. Выведите формулу площади боковой поверхности цилиндра. $S_{бок} = 2\pi rh$

14. Выведите формулу площади полной поверхности цилиндра. $S_{полн} = 2\pi rh + 2\pi r^2$

1. Какое преобразование пространства называется поворотом вокруг прямой?
Поворотом вокруг прямой l на угол $\alpha$ называется такое преобразование пространства, при котором каждая точка прямой l остается на месте, а любая другая точка A переходит в такую точку A', что точки A и A' лежат в плоскости, перпендикулярной прямой l и проходящей через точку A, и в этой плоскости точка A' получается из точки A поворотом на угол $\alpha$ вокруг точки O — точки пересечения прямой l и плоскости. Ответ: Поворот вокруг прямой – это преобразование пространства, при котором все точки поворачиваются на заданный угол вокруг этой прямой в плоскостях, перпендикулярных ей.

2. Какая фигура называется фигурой вращения?
Фигурой вращения (или телом вращения) называется геометрическое тело, образованное вращением плоской фигуры вокруг прямой (оси вращения), лежащей в той же плоскости, что и фигура. Ответ: Фигура, образованная вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

3. Какая фигура называется цилиндром?
Цилиндром (в школьном курсе геометрии под этим термином обычно понимают прямой круговой цилиндр) называется геометрическое тело, которое образовано вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон как оси. Ответ: Геометрическое тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.

4. Что называется осью цилиндра?
Осью цилиндра называется прямая, вокруг которой происходит вращение прямоугольника при образовании цилиндра. Эта прямая проходит через центры оснований цилиндра. Ответ: Прямая, проходящая через центры оснований цилиндра.

5. Что называется основаниями цилиндра?
Основаниями цилиндра называются два равных круга, которые образуются при вращении сторон прямоугольника, перпендикулярных оси вращения. Эти круги лежат в параллельных плоскостях. Ответ: Два равных круга, лежащие в параллельных плоскостях и ограничивающие цилиндр.

6. Какая фигура называется боковой поверхностью цилиндра?
Боковой поверхностью цилиндра называется поверхность, образованная вращением стороны прямоугольника, параллельной оси вращения. Эта поверхность соединяет окружности оснований. Ответ: Поверхность, образованная вращением образующей цилиндра вокруг его оси.

7. Какие отрезки называются образующими цилиндра?
Образующими цилиндра называются отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей оснований. Все образующие параллельны оси цилиндра и равны между собой. Их длина равна высоте цилиндра. Ответ: Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей оснований и параллельные оси цилиндра.

8. Что называется высотой цилиндра?
Высотой цилиндра называется перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания к плоскости другого основания. Длина этого перпендикуляра также называется высотой. В прямом круговом цилиндре высота равна длине его образующей. Ответ: Расстояние между плоскостями оснований цилиндра.

9. Что называется осевым сечением цилиндра?
Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Для прямого кругового цилиндра осевым сечением является прямоугольник, две стороны которого — образующие, а две другие — диаметры оснований. Ответ: Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось.

10. Что называется разверткой цилиндра?
Разверткой цилиндра называется плоская фигура, из которой можно сложить (склеить) поверхность цилиндра. Она состоит из прямоугольника (развертка боковой поверхности) и двух равных кругов (основания). Ответ: Прямоугольник и два круга, из которых можно составить поверхность цилиндра.

11. Что называется площадью поверхности цилиндра?
Площадью поверхности цилиндра (или площадью полной поверхности) называется сумма площади его боковой поверхности и площадей двух его оснований. Ответ: Сумма площади боковой поверхности и площадей двух оснований.

12. Что называется площадью боковой поверхности цилиндра?
Площадью боковой поверхности цилиндра называется площадь его боковой поверхности. Её можно найти как площадь развертки боковой поверхности, которая представляет собой прямоугольник. Ответ: Площадь развертки его боковой поверхности.

13. Выведите формулу площади боковой поверхности цилиндра.
Решение:
Боковую поверхность цилиндра можно развернуть в прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$. Другая сторона равна длине окружности основания цилиндра. Длина окружности с радиусом $r$ вычисляется по формуле $C = 2 \pi r$. Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон. Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра:
$S_{бок} = C \cdot h = 2 \pi r h$.
Ответ: Формула площади боковой поверхности цилиндра: $S_{бок} = 2 \pi r h$, где $r$ – радиус основания, а $h$ – высота цилиндра.

14. Выведите формулу площади полной поверхности цилиндра.
Решение:
Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ складывается из площади боковой поверхности $S_{бок}$ и площадей двух оснований $S_{осн}$.
$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$.
Площадь боковой поверхности, как было выведено ранее, равна $S_{бок} = 2 \pi r h$.
Основанием цилиндра является круг радиусом $r$. Площадь одного круга равна $S_{осн} = \pi r^2$. Так как у цилиндра два основания, их суммарная площадь составляет $2 \cdot S_{осн} = 2 \pi r^2$.
Сложив площади, получим:
$S_{полн} = 2 \pi r h + 2 \pi r^2$.
Эту формулу можно записать, вынеся общий множитель $2 \pi r$ за скобки:
$S_{полн} = 2 \pi r (h + r)$.
Ответ: Формула площади полной поверхности цилиндра: $S_{полн} = 2 \pi r (h + r)$, где $r$ – радиус основания, а $h$ – высота цилиндра.

12.1. На листе бумаги в клетку изобразите цилиндр, аналогичный данному на рисунке 12.8. Изобразите его осевое сечение.

77

Рис. 12.8

Дано:

Цилиндр, изображенный на клетчатой бумаге (Рис. 12.8). Масштаб: 1 клетка.

Найти:

1. Изобразить на листе бумаги в клетку цилиндр, аналогичный данному.
2. Изобразить его осевое сечение.

Решение:

Для решения задачи проанализируем заданный на рисунке цилиндр, приняв сторону клетки за единицу длины.

1. Построение цилиндра, аналогичного данному.
Из рисунка видно, что высота цилиндра $h$ составляет 5 клеток, а диаметр его основания $d$ — 6 клеток. Радиус основания $r$ соответственно равен $d/2 = 3$ клетки.
Чтобы построить аналогичный цилиндр на листе в клетку, необходимо выполнить следующие шаги:
- Нарисовать эллипс, изображающий нижнее основание. Его большая (горизонтальная) ось должна быть равна 6 клеткам.
- От концов большой оси эллипса провести вверх два вертикальных отрезка (образующие цилиндра) длиной 5 клеток каждый.
- Соединить верхние концы этих отрезков вторым таким же эллипсом, который будет являться верхним основанием.
- Часть контура нижнего основания, которая невидима с данного ракурса, изобразить пунктирной линией.

2. Построение осевого сечения.
Осевым сечением цилиндра называется сечение плоскостью, которая проходит через его ось. У прямого кругового цилиндра осевое сечение представляет собой прямоугольник.
- Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$.
- Вторая сторона равна диаметру основания $d$.
Для данного цилиндра размеры осевого сечения будут:
- Высота: $h = 5$ клеток.
- Ширина (диаметр): $d = 6$ клеток.
Следовательно, для изображения осевого сечения необходимо начертить на клетчатой бумаге прямоугольник со сторонами 5 клеток и 6 клеток.

Ответ:
Для решения задачи необходимо нарисовать на клетчатой бумаге два изображения:
1. Цилиндр, у которого высота равна 5 клеткам, а диаметр основания — 6 клеткам.
2. Прямоугольник (осевое сечение цилиндра) со сторонами 5 клеток и 6 клеток.