Страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.2. Сколько образующих имеет цилиндр?

Решение

Образующая цилиндра — это отрезок, соединяющий соответствующие точки на окружностях его оснований. Все образующие параллельны друг другу и оси цилиндра, а их длина равна высоте цилиндра.

Боковую поверхность цилиндра можно представить как совокупность всех его образующих. Представим, что мы проводим образующую через каждую точку на окружности одного из оснований. Поскольку окружность состоит из бесконечного множества точек, то и количество образующих, которые можно провести, также будет бесконечным.

Можно также рассмотреть образование цилиндра как тела, полученного при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон, принятой за ось. В этом случае сторона, параллельная оси вращения, при своем движении описывает боковую поверхность цилиндра. Каждое положение этой движущейся стороны является образующей. Так как вращение непрерывно, эта сторона занимает бесконечное множество положений.

Ответ: цилиндр имеет бесконечное множество образующих.

12.3. Какой фигурой является сечение цилиндра плоскостью, параллельной основаниям?

Решение

Цилиндр (в частности, прямой круговой цилиндр) — это геометрическое тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями, пересекающими цилиндрическую поверхность. Части этих плоскостей, вырезанные цилиндрической поверхностью, называются основаниями цилиндра. Основаниями являются два равных круга.

Рассмотрим сечение такого цилиндра плоскостью $\alpha$, которая параллельна его основаниям.

По определению цилиндра, все точки его боковой поверхности находятся на одинаковом расстоянии от прямой, называемой осью цилиндра. Это расстояние равно радиусу оснований $R$.

Когда плоскость $\alpha$, параллельная основаниям, пересекает цилиндр, она пересекает его боковую поверхность. Каждая точка на линии пересечения принадлежит как плоскости $\alpha$, так и боковой поверхности цилиндра. Следовательно, все точки этой линии пересечения находятся в плоскости $\alpha$ и удалены от оси цилиндра на расстояние $R$.

Геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от одной центральной точки, является окружностью. Фигура, ограниченная этой окружностью, есть круг.

Таким образом, сечение цилиндра плоскостью, параллельной основаниям, представляет собой круг. Этот круг будет иметь тот же радиус, что и основания цилиндра, а значит, будет равен им.

Ответ: Круг, равный основаниям цилиндра.

12.4. Какая фигура получается вращением прямоугольника вокруг прямой, проходящей через середины двух противоположных сторон этого прямоугольника (рис. 12.9)?

$a$

Рис. 12.9

Решение

Рассмотрим прямоугольник и ось вращения, которая, согласно условию, проходит через середины двух его противолежащих сторон. Назовем эту ось a.

Пусть стороны прямоугольника, через середины которых проходит ось вращения, имеют длину $b$, а две другие, параллельные оси вращения, стороны имеют длину $h$.

При вращении прямоугольника на 360° вокруг оси a, каждая точка прямоугольника описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения.

Две стороны длиной $h$, будучи параллельными оси вращения и удаленными от нее на одинаковое расстояние $r = b/2$, при вращении образуют боковую поверхность тела вращения. Эта поверхность является цилиндрической. Высота этой цилиндрической поверхности равна $h$.

Две стороны длиной $b$, которые перпендикулярны оси вращения, при вращении описывают два круга. Эти круги являются основаниями тела вращения. Радиус каждого основания равен расстоянию от оси вращения до наиболее удаленных точек этих сторон, то есть $r = b/2$.

Таким образом, фигура, ограниченная цилиндрической поверхностью и двумя кругами-основаниями, является прямым круговым цилиндром. Высота цилиндра равна стороне прямоугольника, параллельной оси вращения ($h$), а радиус основания равен половине другой стороны ($r = b/2$).

Ответ: Цилиндр.

12.5. Какая фигура получается при вращении отрезка $AB$ вокруг прямой, лежащей в одной плоскости с этим отрезком, перпендикулярной ему и не имеющей с отрезком общих точек (рис. 12.10)?

$a$

$A$ $B$

Рис. 12.10

Решение

Проанализируем движение отрезка $AB$ при вращении вокруг прямой $a$.

Из условия следует, что прямая $a$ и отрезок $AB$ находятся в одной плоскости, при этом прямая $a$ перпендикулярна отрезку $AB$ и не имеет с ним общих точек.

Поскольку ось вращения $a$ перпендикулярна отрезку $AB$, все точки отрезка $AB$ при вращении остаются в одной и той же плоскости. Эта плоскость перпендикулярна оси $a$.

Рассмотрим движение конечных точек отрезка, $A$ и $B$. Пусть точка $A$ — это конец отрезка, находящийся на расстоянии $r_A$ от прямой $a$, а точка $B$ — конец отрезка, находящийся на расстоянии $r_B$ от прямой $a$. Так как отрезок не пересекает прямую $a$, то $r_A > 0$. Поскольку $A$ и $B$ — разные точки, то $r_B > r_A$.

При вращении вокруг прямой $a$ точка $A$ описывает окружность радиуса $r_A$. Точка $B$ описывает окружность радиуса $r_B$. Обе эти окружности лежат в одной плоскости и имеют общий центр, который является точкой пересечения прямой $a$ с этой плоскостью. Такие окружности называются концентрическими.

Каждая точка, расположенная между $A$ и $B$ на отрезке, также будет описывать окружность с радиусом $r$, где $r_A \le r \le r_B$.

Таким образом, вращающийся отрезок $AB$ "заметает" плоскую фигуру. Эта фигура ограничена двумя концентрическими окружностями с радиусами $r_A$ и $r_B$. Такая фигура называется кольцом.

Ответ: Кольцо.

12.6. Радиус основания цилиндра равен 2 см, высота — 3 см. Найдите диагональ осевого сечения.

Дано:

Радиус основания цилиндра, $r = 2$ см.

Высота цилиндра, $h = 3$ см.

$r = 2 \text{ см} = 0,02 \text{ м}$

$h = 3 \text{ см} = 0,03 \text{ м}$

Найти:

Диагональ осевого сечения, $d$.

Решение:

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, проходящий через ось цилиндра. Сторонами этого прямоугольника являются высота цилиндра $h$ и диаметр его основания $D$.

Сначала найдем диаметр основания цилиндра. Диаметр равен двум радиусам:

$D = 2r = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Теперь у нас есть прямоугольник со сторонами $h = 3$ см и $D = 4$ см.

Диагональ $d$ этого прямоугольника можно найти по теореме Пифагора. Диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого служат стороны прямоугольника (высота и диаметр).

Формула по теореме Пифагора:

$d^2 = h^2 + D^2$

Подставим числовые значения в формулу:

$d^2 = 3^2 + 4^2$

$d^2 = 9 + 16$

$d^2 = 25$

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти длину диагонали:

$d = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

12.7. Найдите радиус основания цилиндра, разверткой боковой поверхности которого является квадрат со стороной 1 см.

Дано:

Развертка боковой поверхности цилиндра - квадрат.

Сторона квадрата $a = 1$ см.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус основания цилиндра $R$.

Решение:

Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник. Высота этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а его длина равна длине окружности основания цилиндра $C$.

По условию задачи, развертка является квадратом со стороной $a = 1$ см. Это означает, что высота цилиндра и длина окружности его основания равны стороне этого квадрата.

$H = a = 1$ см

$C = a = 1$ см

Длина окружности основания вычисляется по формуле $C = 2 \pi R$, где $R$ — это радиус основания.

Так как мы знаем, что $C = 1$ см, мы можем составить уравнение:

$2 \pi R = 1$

Теперь выразим радиус $R$ из этого уравнения:

$R = \frac{1}{2 \pi}$ см.

Ответ: радиус основания цилиндра равен $\frac{1}{2 \pi}$ см.

12.8. Найдите площадь:

а) боковой;

б) полной поверхности цилиндра, радиус основания которого равен 1 см, а образующая равна 2 см.

Дано:

Радиус основания цилиндра $r = 1$ см.

Образующая цилиндра, равная его высоте, $h = 2$ см.

Найти:

a) Площадь боковой поверхности $S_{бок}$.

б) Площадь полной поверхности $S_{полн}$.

Решение:

а) Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра вычисляется по формуле, представляющей собой площадь развертки боковой поверхности (прямоугольника), где одна сторона равна длине окружности основания, а другая - высоте цилиндра.

Формула площади боковой поверхности: $S_{бок} = 2\pi rh$.

Подставим в формулу заданные значения радиуса $r$ и высоты $h$:

$S_{бок} = 2 \cdot \pi \cdot 1 \cdot 2 = 4\pi$ (см$^2$).

Ответ: $4\pi$ см$^2$.

б) Площадь полной поверхности цилиндра складывается из площади боковой поверхности и площадей двух его оснований (верхнего и нижнего).

Формула площади полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.

Площадь основания (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$.

Рассчитаем площадь одного основания:

$S_{осн} = \pi \cdot 1^2 = \pi$ (см$^2$).

Теперь, зная площадь боковой поверхности из пункта а) и площадь основания, найдем площадь полной поверхности:

$S_{полн} = 4\pi + 2 \cdot \pi = 6\pi$ (см$^2$).

Ответ: $6\pi$ см$^2$.

12.9. На листе бумаги в клетку изобразите цилиндр, аналогичный данному на рисунке 12.8. Изобразите его сечение плоскостью, параллельной плоскости основания этого цилиндра.

Рис. 12.8

Решение.

Для выполнения задания необходимо сначала нарисовать на клетчатой бумаге цилиндр, аналогичный тому, что на рисунке 12.8, а затем изобразить его сечение плоскостью, параллельной основанию.

Построение цилиндра:

Анализируя образец, видим, что диаметр основания цилиндра равен 6 клеткам, а высота — 5 клеткам. Сначала рисуем верхнее основание в виде эллипса. Затем от крайних точек его большой (горизонтальной) оси проводим вниз две образующие линии длиной в 5 клеток. Завершаем построение цилиндра, изобразив нижнее основание в виде такого же эллипса, но штриховой линией, так как оно является невидимым.

Построение сечения:

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его основанию, — это круг, радиус которого равен радиусу основания. В изображаемой нами проекции этот круг будет выглядеть как эллипс, идентичный эллипсам оснований. Изобразим этот эллипс между верхним и нижним основаниями. Для наглядности плоскость сечения можно закрасить.

Результат построения показан на рисунке:

Ответ:

Цилиндр, аналогичный данному, и его сечение плоскостью, параллельной плоскости основания, изображены на рисунке ниже.

12.10. На листе бумаги в клетку изобразите цилиндр, аналогичный данному на рисунке 12.8. Изобразите его сечение плоскостью, параллельной оси этого цилиндра. Какой фигурой оно является?

Рис. 12.8

Для решения задачи сначала изобразим на листе в клетку цилиндр, аналогичный приведенному на рисунке. Основания цилиндра, являющиеся в реальности кругами, в изометрической проекции изображаются в виде эллипсов. Боковая поверхность образована отрезками (образующими), соединяющими соответствующие точки оснований.

Далее изобразим сечение этого цилиндра плоскостью, которая параллельна его оси. Ось цилиндра — это прямая, проходящая через центры его оснований. Секущая плоскость, параллельная оси, пересечет цилиндр, создав в сечении некоторую фигуру. На рисунке ниже показан цилиндр (черным цветом), его ось (синий пунктир) и сечение (красный прямоугольник).

Определим, какой фигурой является полученное сечение.

Пусть секущая плоскость пересекает верхнее основание цилиндра по хорде $AB$, а нижнее основание — по хорде $CD$. Боковую поверхность она пересекает по отрезкам $AC$ и $BD$. Полученная в сечении фигура — это четырехугольник $ACDB$.

1. Отрезки $AC$ и $BD$ являются образующими цилиндра. Все образующие параллельны оси цилиндра и равны его высоте $h$. Следовательно, отрезки $AC$ и $BD$ параллельны и равны: $AC \parallel BD$ и $AC = BD = h$.

2. Хорды $AB$ и $CD$ лежат в параллельных плоскостях оснований. Так как отрезки $AC$ и $BD$, соединяющие их концы, параллельны и равны, то четырехугольник $ACDB$ является параллелограммом (по признаку параллелограмма). Отсюда следует, что $AB \parallel CD$ и $AB = CD$.

3. Поскольку образующие цилиндра (в том числе $AC$ и $BD$) перпендикулярны плоскостям его оснований, они перпендикулярны и любым прямым, лежащим в этих плоскостях. Значит, $AC \perp AB$ и $BD \perp AB$. Следовательно, углы этого параллелограмма — прямые.

Параллелограмм, у которого все углы прямые, является прямоугольником. В частном случае, если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, сечение также является прямоугольником (так называемое осевое сечение), одна из сторон которого равна диаметру основания.

Ответ: Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, является прямоугольником.

12.11. Имеет ли цилиндр:

а) центр симметрии;

б) оси симметрии;

в) плоскости симметрии?

а) центр симметрии

Да, прямой круговой цилиндр имеет центр симметрии. Центром симметрии называется точка, относительно которой фигура симметрична. Для цилиндра такой точкой является середина его оси — отрезка, соединяющего центры его круговых оснований.

Если мы выберем любую точку $M$ на поверхности цилиндра (на боковой поверхности или на одном из оснований) и найдем точку $M'$, симметричную ей относительно середины оси цилиндра, то точка $M'$ также будет принадлежать поверхности цилиндра. Например, точка на окружности верхнего основания симметрично отобразится в точку на окружности нижнего основания.

Ответ: Да, цилиндр имеет центр симметрии, который является серединой его оси.

б) оси симметрии

Да, цилиндр имеет оси симметрии. Осью симметрии называется прямая, при повороте вокруг которой фигура совмещается сама с собой.

У цилиндра существует бесконечное множество осей симметрии:

1. Ось цилиндра — прямая, проходящая через центры оснований. При повороте вокруг этой оси на любой угол цилиндр отображается сам на себя. Это ось симметрии бесконечного порядка.

2. Прямые, перпендикулярные оси цилиндра и проходящие через его центр симметрии. Любая прямая, лежащая в плоскости, которая перпендикулярна оси цилиндра и делит её пополам, и проходящая через центр симметрии, является осью симметрии. При повороте на $180^\circ$ вокруг любой такой прямой цилиндр совмещается сам с собой. Таких прямых бесконечно много.

Ответ: Да, у цилиндра есть ось симметрии, совпадающая с осью самого цилиндра, а также бесконечное множество осей симметрии, перпендикулярных оси цилиндра и проходящих через его центр симметрии.

в) плоскости симметрии

Да, цилиндр имеет плоскости симметрии. Плоскостью симметрии называется плоскость, которая делит фигуру на две части, являющиеся зеркальным отражением друг друга.

У цилиндра существует бесконечное множество плоскостей симметрии:

1. Плоскости, проходящие через ось цилиндра. Любая плоскость, которая содержит ось цилиндра, является его плоскостью симметрии. Так как через прямую (ось) можно провести бесконечное множество плоскостей, то и таких плоскостей симметрии бесконечно много.

2. Плоскость, перпендикулярная оси цилиндра и проходящая через его центр симметрии. Эта плоскость делит цилиндр на две равные симметричные части. Такая плоскость только одна.

Ответ: Да, у цилиндра есть одна плоскость симметрии, перпендикулярная его оси и проходящая через её середину, а также бесконечное множество плоскостей симметрии, проходящих через его ось.

12.12. Какая фигура получится при вращении куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вокруг прямой:

а) $AA_1$;

б) соединяющей центры его противолежащих граней (рис. 12.11)?

Рис. 12.11

а) Вращение вокруг прямой $AA_1$

Решение

Пусть ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $s$. Осью вращения является прямая, содержащая ребро $AA_1$.

При вращении куба вокруг прямой $AA_1$ каждая его точка описывает окружность (или остается на месте, если лежит на оси). Тело вращения будет ограничено поверхностью, которую описывают точки куба, наиболее удаленные от оси вращения.

В данном случае самые удаленные от оси $AA_1$ точки куба лежат на противолежащем ребре $CC_1$. Это ребро параллельно оси вращения $AA_1$. Расстояние от любой точки на ребре $CC_1$ до прямой $AA_1$ постоянно и равно длине диагонали грани куба, например, $AC$.

Найдем длину диагонали $AC$ грани $ABCD$ по теореме Пифагора. Так как $ABCD$ - квадрат со стороной $s$, то $AB = BC = s$. $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{s^2 + s^2} = \sqrt{2s^2} = s\sqrt{2}$.

Поскольку ребро $CC_1$ при вращении описывает боковую поверхность цилиндра, а все остальные точки куба находятся на расстоянии от оси $AA_1$, не превышающем $s\sqrt{2}$, то тело вращения заполнит весь объем этого цилиндра.

Высота этого цилиндра $h$ равна длине ребра $AA_1$, то есть $h = s$. Радиус основания цилиндра $R$ равен расстоянию от оси вращения до ребра $CC_1$, то есть $R = AC = s\sqrt{2}$.

Следовательно, фигура, полученная при вращении куба вокруг ребра $AA_1$, является цилиндром.

Ответ: Цилиндр, высота которого равна ребру куба ($h=s$), а радиус основания равен диагонали грани куба ($R=s\sqrt{2}$), где $s$ - длина ребра куба.

б) Вращение вокруг прямой, соединяющей центры противолежащих граней

Решение

Осью вращения является прямая $a$, которая соединяет центры противолежащих граней, например, $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. Эта ось параллельна боковым ребрам куба ($AA_1, BB_1$ и т.д.) и проходит через его геометрический центр. Пусть ребро куба равно $s$.

Наиболее удаленными от оси вращения $a$ точками куба являются точки, лежащие на его боковых ребрах: $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$. Все эти четыре ребра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения.

Найдем это расстояние. Оно равно расстоянию от центра грани (например, $ABCD$) до любой ее вершины (например, $A$). Это расстояние составляет половину длины диагонали грани.

Длина диагонали грани $AC$ равна $s\sqrt{2}$. Расстояние $R$ от центра грани до вершины равно: $R = \frac{AC}{2} = \frac{s\sqrt{2}}{2}$.

Так как ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ параллельны оси вращения, при вращении они описывают боковую поверхность цилиндра. Все остальные точки куба находятся на расстоянии от оси $a$, не превышающем $R$, поэтому тело вращения заполнит весь объем этого цилиндра.

Высота этого цилиндра $h$ равна длине ребра куба: $h = s$. Радиус основания цилиндра $R$ равен расстоянию от оси до боковых ребер: $R = \frac{s\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, фигура, полученная при вращении куба вокруг прямой, соединяющей центры противолежащих граней, является цилиндром.

Ответ: Цилиндр, высота которого равна ребру куба ($h=s$), а радиус основания равен половине диагонали грани куба ($R=\frac{s\sqrt{2}}{2}$), где $s$ - длина ребра куба.