Номер 12.12, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.12. Какая фигура получится при вращении куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вокруг прямой:

а) $AA_1$;

б) соединяющей центры его противолежащих граней (рис. 12.11)?

Рис. 12.11

а) Вращение вокруг прямой $AA_1$

Решение

Пусть ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $s$. Осью вращения является прямая, содержащая ребро $AA_1$.

При вращении куба вокруг прямой $AA_1$ каждая его точка описывает окружность (или остается на месте, если лежит на оси). Тело вращения будет ограничено поверхностью, которую описывают точки куба, наиболее удаленные от оси вращения.

В данном случае самые удаленные от оси $AA_1$ точки куба лежат на противолежащем ребре $CC_1$. Это ребро параллельно оси вращения $AA_1$. Расстояние от любой точки на ребре $CC_1$ до прямой $AA_1$ постоянно и равно длине диагонали грани куба, например, $AC$.

Найдем длину диагонали $AC$ грани $ABCD$ по теореме Пифагора. Так как $ABCD$ - квадрат со стороной $s$, то $AB = BC = s$. $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{s^2 + s^2} = \sqrt{2s^2} = s\sqrt{2}$.

Поскольку ребро $CC_1$ при вращении описывает боковую поверхность цилиндра, а все остальные точки куба находятся на расстоянии от оси $AA_1$, не превышающем $s\sqrt{2}$, то тело вращения заполнит весь объем этого цилиндра.

Высота этого цилиндра $h$ равна длине ребра $AA_1$, то есть $h = s$. Радиус основания цилиндра $R$ равен расстоянию от оси вращения до ребра $CC_1$, то есть $R = AC = s\sqrt{2}$.

Следовательно, фигура, полученная при вращении куба вокруг ребра $AA_1$, является цилиндром.

Ответ: Цилиндр, высота которого равна ребру куба ($h=s$), а радиус основания равен диагонали грани куба ($R=s\sqrt{2}$), где $s$ - длина ребра куба.

б) Вращение вокруг прямой, соединяющей центры противолежащих граней

Решение

Осью вращения является прямая $a$, которая соединяет центры противолежащих граней, например, $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. Эта ось параллельна боковым ребрам куба ($AA_1, BB_1$ и т.д.) и проходит через его геометрический центр. Пусть ребро куба равно $s$.

Наиболее удаленными от оси вращения $a$ точками куба являются точки, лежащие на его боковых ребрах: $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$. Все эти четыре ребра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения.

Найдем это расстояние. Оно равно расстоянию от центра грани (например, $ABCD$) до любой ее вершины (например, $A$). Это расстояние составляет половину длины диагонали грани.

Длина диагонали грани $AC$ равна $s\sqrt{2}$. Расстояние $R$ от центра грани до вершины равно: $R = \frac{AC}{2} = \frac{s\sqrt{2}}{2}$.

Так как ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ параллельны оси вращения, при вращении они описывают боковую поверхность цилиндра. Все остальные точки куба находятся на расстоянии от оси $a$, не превышающем $R$, поэтому тело вращения заполнит весь объем этого цилиндра.

Высота этого цилиндра $h$ равна длине ребра куба: $h = s$. Радиус основания цилиндра $R$ равен расстоянию от оси до боковых ребер: $R = \frac{s\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, фигура, полученная при вращении куба вокруг прямой, соединяющей центры противолежащих граней, является цилиндром.

Ответ: Цилиндр, высота которого равна ребру куба ($h=s$), а радиус основания равен половине диагонали грани куба ($R=\frac{s\sqrt{2}}{2}$), где $s$ - длина ребра куба.