Номер 12.16, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.16. Какая фигура получится при вращении правильной шести-угольной призмы вокруг прямой:

а) содержащей боковое ребро;

б) проходящей через центры ее оснований (рис. 12.13)?

$E_1$

$A_1$

$B_1$

$D_1$

$C_1$

$F$

$A$

$B$

$C$

$D$

$E$

$D$

Рис. 12.13

а)

Рассмотрим вращение правильной шестиугольной призмы вокруг прямой, содержащей ее боковое ребро. В качестве оси вращения выберем ребро $AA_1$, показанное на рисунке.

Тело вращения образуется путем вращения всех точек призмы вокруг заданной оси. Чтобы определить форму этого тела, необходимо найти точки призмы, которые находятся на максимальном расстоянии от оси вращения. Это расстояние и будет радиусом тела вращения.

Основанием призмы является правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть сторона основания равна $a$, а высота призмы (длина бокового ребра) равна $h$. Ось вращения $AA_1$ проходит через вершину $A$ основания.

В плоскости основания $ABCDEF$ наиболее удаленной от вершины $A$ является противоположная ей вершина $D$. Расстояние $AD$ — это большая диагональ правильного шестиугольника. Длина большой диагонали правильного шестиугольника в два раза больше длины его стороны, то есть $AD = 2a$.

Следовательно, любая точка, принадлежащая боковому ребру $DD_1$, будет максимально удалена от оси вращения $AA_1$. При вращении призмы ребро $DD_1$, будучи параллельным оси вращения, описывает боковую поверхность цилиндра. Радиус этого цилиндра $R$ будет равен расстоянию $AD$, то есть $R=2a$, а высота будет равна высоте призмы $h$.

Поскольку ось вращения $AA_1$ является одним из ребер призмы, все точки призмы при вращении заполнят пространство внутри этого цилиндра, не оставляя в центре пустоты. Таким образом, итоговая фигура — сплошной цилиндр.

Ответ: Получится цилиндр, радиус основания которого равен большой диагонали основания призмы, а высота равна высоте призмы.

б)

Рассмотрим вращение правильной шестиугольной призмы вокруг прямой, проходящей через центры ее оснований. Эта прямая является осью симметрии призмы.

Пусть центры оснований — точки $E$ и $E_1$ (согласно рисунку, хотя обычно их обозначают $O$ и $O_1$). Ось вращения — прямая $EE_1$.

Наибольшее расстояние от точек призмы до оси вращения $EE_1$ будет равно расстоянию от этой оси до любого из боковых ребер, например, до ребра $AA_1$, $BB_1$ и так далее.

В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны шестиугольника. Если сторона основания равна $a$, то расстояние от центра $E$ до любой из вершин $A, B, C, D, F$ (в нижнем основании) равно $a$.

Следовательно, все боковые ребра призмы равноудалены от оси вращения $EE_1$ на расстояние $a$. При вращении призмы вокруг этой оси, каждое боковое ребро описывает цилиндрическую поверхность с радиусом $R = a$ и высотой $h$ (высота призмы).

Так как все эти цилиндрические поверхности совпадают и являются внешними границами для вращающихся точек призмы, а сама призма является сплошным телом, то в результате вращения образуется сплошной цилиндр.

Ответ: Получится цилиндр, радиус основания которого равен стороне основания призмы (или радиусу описанной около основания окружности), а высота равна высоте призмы.