Номер 12.10, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.10. На листе бумаги в клетку изобразите цилиндр, аналогичный данному на рисунке 12.8. Изобразите его сечение плоскостью, параллельной оси этого цилиндра. Какой фигурой оно является?

Рис. 12.8

Для решения задачи сначала изобразим на листе в клетку цилиндр, аналогичный приведенному на рисунке. Основания цилиндра, являющиеся в реальности кругами, в изометрической проекции изображаются в виде эллипсов. Боковая поверхность образована отрезками (образующими), соединяющими соответствующие точки оснований.

Далее изобразим сечение этого цилиндра плоскостью, которая параллельна его оси. Ось цилиндра — это прямая, проходящая через центры его оснований. Секущая плоскость, параллельная оси, пересечет цилиндр, создав в сечении некоторую фигуру. На рисунке ниже показан цилиндр (черным цветом), его ось (синий пунктир) и сечение (красный прямоугольник).

Определим, какой фигурой является полученное сечение.

Пусть секущая плоскость пересекает верхнее основание цилиндра по хорде $AB$, а нижнее основание — по хорде $CD$. Боковую поверхность она пересекает по отрезкам $AC$ и $BD$. Полученная в сечении фигура — это четырехугольник $ACDB$.

1. Отрезки $AC$ и $BD$ являются образующими цилиндра. Все образующие параллельны оси цилиндра и равны его высоте $h$. Следовательно, отрезки $AC$ и $BD$ параллельны и равны: $AC \parallel BD$ и $AC = BD = h$.

2. Хорды $AB$ и $CD$ лежат в параллельных плоскостях оснований. Так как отрезки $AC$ и $BD$, соединяющие их концы, параллельны и равны, то четырехугольник $ACDB$ является параллелограммом (по признаку параллелограмма). Отсюда следует, что $AB \parallel CD$ и $AB = CD$.

3. Поскольку образующие цилиндра (в том числе $AC$ и $BD$) перпендикулярны плоскостям его оснований, они перпендикулярны и любым прямым, лежащим в этих плоскостях. Значит, $AC \perp AB$ и $BD \perp AB$. Следовательно, углы этого параллелограмма — прямые.

Параллелограмм, у которого все углы прямые, является прямоугольником. В частном случае, если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, сечение также является прямоугольником (так называемое осевое сечение), одна из сторон которого равна диаметру основания.

Ответ: Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, является прямоугольником.