Номер 12.14, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.14. Какая фигура получится при вращении правильной треугольной призмы вокруг прямой:

а) содержащей боковое ребро;

б) проходящей через центры ее оснований (рис. 12.12)?

$A_1$, $B_1$, $C_1$, $A$, $B$, $C$, $a$

Рис. 12.12

а) содержащей боковое ребро

Рассмотрим правильную треугольную призму, в основании которой лежит правильный треугольник со стороной $a$, а высота призмы равна $h$. Ось вращения проходит через одно из боковых ребер призмы.

Тело вращения можно представить как объединение фигур, которые описывают все точки призмы при вращении. Удобно рассмотреть вращение поперечного сечения призмы, перпендикулярного оси вращения. Таким сечением является правильный треугольник, равный основанию призмы. Ось вращения проходит через одну из его вершин.

При вращении сплошного треугольника вокруг одной из его вершин он полностью покрывает (заметает) круг. Радиус этого круга равен наибольшему расстоянию от вершины, служащей центром вращения, до любой точки треугольника. Это расстояние равно длине стороны треугольника, то есть $a$.

Так как все поперечные сечения призмы, перпендикулярные оси вращения, одинаковы, то при вращении всей призмы образуется тело, состоящее из стопки одинаковых кругов радиуса $a$. Такое тело является прямым круговым цилиндром, высота которого равна высоте призмы $h$, а радиус основания — стороне основания призмы $a$.

Ответ: Цилиндр, высота которого равна высоте призмы, а радиус основания равен стороне основания призмы.

б) проходящей через центры ее оснований

Рассмотрим вращение той же правильной треугольной призмы вокруг прямой, проходящей через центры ее оснований. Эта прямая является осью симметрии призмы.

Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим вращение поперечного сечения, перпендикулярного оси вращения. Это правильный треугольник со стороной $a$, а ось вращения проходит через его центр (центр описанной и вписанной окружностей).

При вращении сплошного треугольника вокруг своего центра он полностью заметает круг. Радиус этого круга равен максимальному расстоянию от центра до точки на треугольнике, то есть расстоянию от центра до любой из вершин. Это расстояние является радиусом описанной около правильного треугольника окружности.

Радиус $R$ окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Поскольку все поперечные сечения призмы при вращении образуют одинаковые круги радиуса $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$, итоговая фигура вращения представляет собой прямой круговой цилиндр.

Ответ: Цилиндр, высота которого равна высоте призмы, а радиус основания равен радиусу окружности, описанной около основания призмы ($R = \frac{a}{\sqrt{3}}$, где $a$ — сторона основания).