Номер 12.21, страница 80 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.21. Какая фигура получается вращением многоугольника ABCDEFGH, изображенного на рисунке 12.17, соседние стороны которого образуют прямые углы, вокруг прямой AB? Найдите площадь поверхности этой фигуры.

Рис. 12.17

При вращении многоугольника ABCDEFGH вокруг прямой AB получается тело вращения. Это тело можно представить как комбинацию двух соосных цилиндров:

1. Сплошной цилиндр, образованный вращением прямоугольника, который можно мысленно достроить на основании AB высотой 1 (например, прямоугольник с вершинами A, B, и проекциями точек G и D на прямую AB). Этот цилиндр имеет радиус основания $r_1 = 1$ и высоту $h_1 = 3$.

2. Полый цилиндр (труба), образованный вращением прямоугольника GDEF. Этот полый цилиндр "надет" на среднюю часть первого цилиндра. Его высота $h_2 = FE = 1$, внутренний радиус $r_{вн} = 1$, а внешний радиус $r_{внеш} = 2$.

Таким образом, фигура представляет собой сплошной цилиндр, на среднюю часть которого надет более широкий полый цилиндр (труба).

Дано:

Многоугольник ABCDEFGH со сторонами:
$AH = 1$
$HG = 1$
$GF = 1$
$FE = 1$
$ED = 1$
$DC = 1$
$CB = 1$
$AB = 3$
Все соседние стороны образуют прямые углы. Ось вращения — прямая AB.

Найти:

$S_{пов}$ — площадь поверхности полученной фигуры.

Решение:

Площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей поверхностей, образованных вращением каждого из отрезков, составляющих контур многоугольника (за исключением отрезка AB, который лежит на оси вращения).

1. Вращение отрезка $AH$ образует левое основание фигуры — круг радиусом $r = AH = 1$.
$S_1 = \pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$.

2. Вращение отрезка $BC$ образует правое основание фигуры — круг радиусом $r = BC = 1$.
$S_2 = \pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$.

3. Вращение отрезка $HG$ (длиной 1) образует боковую поверхность цилиндра с радиусом $r = AH = 1$ и высотой $h = HG = 1$.
$S_3 = 2\pi r h = 2\pi \cdot 1 \cdot 1 = 2\pi$.

4. Вращение отрезка $DC$ (длиной 1) образует боковую поверхность цилиндра с радиусом $r = BC = 1$ и высотой $h = DC = 1$.
$S_4 = 2\pi r h = 2\pi \cdot 1 \cdot 1 = 2\pi$.

5. Вращение отрезка $GF$ образует кольцо. Внешний радиус этого кольца равен расстоянию от точки F до оси AB, $R = AH + GF = 1 + 1 = 2$. Внутренний радиус равен расстоянию от точки G до оси AB, $r = AH = 1$.
$S_5 = \pi (R^2 - r^2) = \pi (2^2 - 1^2) = \pi (4 - 1) = 3\pi$.

6. Вращение отрезка $ED$ образует аналогичное кольцо. Внешний радиус $R = BC + ED = 1 + 1 = 2$. Внутренний радиус $r = BC = 1$.
$S_6 = \pi (R^2 - r^2) = \pi (2^2 - 1^2) = 3\pi$.

7. Вращение отрезка $FE$ (длиной 1) образует внешнюю боковую поверхность "надетой" трубы. Радиус этой поверхности равен расстоянию от FE до оси AB, $R = AH + GF = 2$, а высота $h = FE = 1$.
$S_7 = 2\pi R h = 2\pi \cdot 2 \cdot 1 = 4\pi$.

8. Отрезок $AB$ лежит на оси вращения и не образует поверхности ($S_8 = 0$).

Суммарная площадь поверхности фигуры:
$S_{пов} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 + S_6 + S_7$
$S_{пов} = \pi + \pi + 2\pi + 2\pi + 3\pi + 3\pi + 4\pi = 16\pi$.

Ответ: $16\pi$.