Номер 12.26, страница 81 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.26. Найдите площадь полной поверхности детали, изображенной на рисунке 12.22, составленной из двух равных частей цилиндров, составленных под углом 90°.

Рис. 12.22

Дано:

Деталь в виде колена трубы, составленная из двух частей цилиндров под углом 90°.
Общая длина одного плеча (от торца до внешней стенки другого плеча): $L_{общ} = 20$ см.
Длина прямолинейного участка каждого плеча: $L_{прям} = 10$ см.

$L_{общ} = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$
$L_{прям} = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности детали $S_{полн}$.

Решение:

Площадь полной поверхности детали $S_{полн}$ складывается из площади двух круглых оснований (торцов) $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

1. Определение параметров детали.
Для нахождения площади необходимо определить радиус цилиндра $r$ и радиус изгиба осевой линии $R_{изгиба}$.
Из схемы видно, что общая длина плеча $L_{общ}$ от торца до касательной к внешней стенке другого плеча складывается из длины прямого участка $L_{прям}$, радиуса изгиба осевой линии $R_{изгиба}$ и радиуса самого цилиндра $r$.
$L_{общ} = L_{прям} + R_{изгиба} + r$
Подставим известные значения:
$20 = 10 + R_{изгиба} + r$
$R_{изгиба} + r = 10$ см.
Для однозначного решения задачи необходимо еще одно условие. Из гармоничности формы детали, изображенной на рисунке, можно предположить, что радиус цилиндра равен радиусу изгиба его осевой линии: $r = R_{изгиба}$.
Тогда получаем:
$r + r = 10 \implies 2r = 10 \implies r = 5$ см.
Следовательно, радиус цилиндра $r = 5$ см и радиус изгиба осевой линии $R_{изгиба} = 5$ см.

2. Расчет площади оснований.
Основания представляют собой два круга радиусом $r = 5$ см. Их общая площадь:
$S_{осн} = 2 \cdot \pi r^2 = 2 \cdot \pi \cdot 5^2 = 2 \cdot 25\pi = 50\pi$ см².

3. Расчет площади боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ можно найти с помощью второй теоремы Паппа-Гульдина: площадь поверхности, образованной вращением плоской кривой, равна произведению длины этой кривой на длину пути, пройденного ее центром масс.
В данном случае образующей кривой является окружность поперечного сечения трубы. Ее длина (периметр):
$C = 2\pi r = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$ см.
Центр масс этой окружности движется по осевой линии детали. Осевая линия состоит из двух прямых участков по $L_{прям} = 10$ см и дуги в четверть окружности (угол 90°) с радиусом $R_{изгиба} = 5$ см.
Длина дуги: $L_{дуги} = \frac{1}{4} \cdot (2\pi R_{изгиба}) = \frac{1}{4} \cdot (2\pi \cdot 5) = 2.5\pi$ см.
Общая длина осевой линии:
$L_{ось} = L_{прям} + L_{прям} + L_{дуги} = 10 + 10 + 2.5\pi = 20 + 2.5\pi$ см.
Теперь найдем площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = C \cdot L_{ось} = 10\pi \cdot (20 + 2.5\pi) = 200\pi + 25\pi^2$ см².

4. Расчет полной площади поверхности.
Сложим площади оснований и боковой поверхности:
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 50\pi + (200\pi + 25\pi^2) = 250\pi + 25\pi^2$ см².
Можно вынести общий множитель за скобки:
$S_{полн} = 25\pi(10 + \pi)$ см².

Ответ: $S_{полн} = 250\pi + 25\pi^2$ см² или $25\pi(10 + \pi)$ см².