Номер 12.24, страница 81 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.24. Радиус основания цилиндра равен 2 см, образующая равна 3 см. Найдите длину кратчайшего пути по боковой поверхности этого цилиндра из одной вершины A осевого сечения в противолежащую вершину B (рис. 12.20).

Рис. 12.20

Дано:

Радиус основания цилиндра $r = 2$ см

Образующая (высота) цилиндра $h = 3$ см

$r = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$h = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Длину кратчайшего пути по боковой поверхности $L$.

Решение:

Кратчайший путь по боковой поверхности цилиндра между двумя точками A и B представляет собой прямую линию на развёртке боковой поверхности этого цилиндра.

Развёртка боковой поверхности цилиндра — это прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте (образующей) цилиндра $h$, а другая — длине окружности основания $C$.

Высота прямоугольника равна высоте цилиндра: $h = 3$ см.

Длина окружности основания вычисляется по формуле $C = 2\pi r$.

Подставим значение радиуса:

$C = 2 \cdot \pi \cdot 2 = 4\pi$ см.

Точка A — вершина осевого сечения, расположенная на одном основании. Точка B — противоположная вершина этого же осевого сечения, расположенная на другом основании. Это означает, что если мы "развернем" цилиндр, точка A окажется на одной стороне прямоугольника (например, в левом нижнем углу), а точка B окажется на противоположной стороне (на верхней стороне) и будет смещена по горизонтали на расстояние, равное половине длины окружности основания, так как она находится на противоположной стороне цилиндра.

Таким образом, искомый кратчайший путь $L$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются:

1. Высота цилиндра $h = 3$ см.

2. Половина длины окружности основания $\frac{C}{2} = \frac{4\pi}{2} = 2\pi$ см.

По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $L$:

$L^2 = h^2 + \left(\frac{C}{2}\right)^2$

$L^2 = 3^2 + (2\pi)^2$

$L^2 = 9 + 4\pi^2$

$L = \sqrt{9 + 4\pi^2}$ см.

Ответ: $\sqrt{9 + 4\pi^2}$