Номер 12.19, страница 80 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.19. Высота цилиндра равна 8 дм, радиус основания — 5 дм. Цилиндр пересечен плоскостью параллельно оси так, что в сечении получился квадрат (рис. 12.15). Найдите расстояние от оси цилиндра до этого сечения.

Рис. 12.15

Дано:

Цилиндр

Высота $h = 8$ дм

Радиус основания $R = 5$ дм

Сечение, параллельное оси, является квадратом.

Найти:

Расстояние от оси цилиндра до сечения $d$.

Решение:

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник. Обозначим его $ABCD$.

Стороны этого прямоугольника, которые параллельны оси цилиндра (образующие), равны высоте цилиндра. Пусть это будут стороны $AD$ и $BC$. Тогда $AD = BC = h = 8$ дм.

Другие две стороны, $AB$ и $CD$, являются хордами в верхнем и нижнем основаниях цилиндра соответственно. Так как основания равны, то $AB = CD$.

По условию задачи, сечение $ABCD$ является квадратом. Это означает, что все его стороны равны. Следовательно, длина хорды $AB$ также равна 8 дм:

$AB = AD = 8$ дм.

Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения — это длина перпендикуляра, опущенного из центра основания на хорду, образованную этим сечением. Рассмотрим верхнее основание цилиндра. Это круг с центром в точке $O_2$ и радиусом $R = 5$ дм. $AB$ — хорда этого круга.

Проведем из центра $O_2$ перпендикуляр $O_2K$ к хорде $AB$. Длина этого перпендикуляра $O_2K$ и есть искомое расстояние $d$.

Рассмотрим треугольник $AO_2B$. Он является равнобедренным, так как $O_2A$ и $O_2B$ — радиусы окружности основания, т.е. $O_2A = O_2B = R = 5$ дм.

В равнобедренном треугольнике высота $O_2K$, проведенная к основанию $AB$, является также и медианой. Это значит, что она делит хорду $AB$ пополам:

$AK = KB = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4$ дм.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $O_2KA$. В нем:

• Гипотенуза $O_2A$ равна радиусу $R = 5$ дм.
• Катет $AK$ равен половине хорды, т.е. 4 дм.
• Катет $O_2K$ — это искомое расстояние $d$.

По теореме Пифагора:

$O_2A^2 = AK^2 + O_2K^2$

$R^2 = (\frac{AB}{2})^2 + d^2$

Подставляем известные значения в формулу:

$5^2 = 4^2 + d^2$

$25 = 16 + d^2$

$d^2 = 25 - 16$

$d^2 = 9$

$d = \sqrt{9} = 3$ дм (расстояние не может быть отрицательным).

Ответ: 3 дм.