Номер 12.23, страница 81 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.23. Какая фигура получится при вращении многогранника, изображенного на рисунке 12.19, все двугранные углы которого прямые, вокруг прямой $AA_2$? Найдите площадь поверхности этой фигуры.

Рис. 12.19

При вращении многогранника вокруг прямой $AA_2$ получается тело вращения, состоящее из двух соосных цилиндров, поставленных один на другой.

Для нахождения площади поверхности этого тела вращения проанализируем исходный многогранник. Исходя из того, что все двугранные углы прямые, и данных на рисунке, можно представить исходный многогранник как объединение двух прямоугольных параллелепипедов:

1. Нижний параллелепипед с ребрами $AB=2$, $AD=2$ (следует из $A_2D_2=2$) и высотой $AA_1=1$ (следует из $AA_2=2$ и $C_1C_2=1$, что подразумевает высоту верхнего блока равной 1).

2. Верхний параллелепипед с ребрами $A_2D_2=2$, $D_2C_2=1$ и высотой $A_1A_2=1$.

Ось вращения $AA_2$ проходит по общему ребру этих параллелепипедов.

Дано:

Нижний цилиндр (образован вращением нижнего параллелепипеда):

Высота $h_1 = 1$.

Радиус $R_1$ равен максимальному расстоянию точек нижнего параллелепипеда от оси вращения $AA_2$. Это расстояние до вершины $C_1$, которая в системе координат с началом в точке $A$ и осями, направленными по ребрам, имеет координаты $(2, 2, 1)$. Радиус $R_1 = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Верхний цилиндр (образован вращением верхнего параллелепипеда):

Высота $h_2 = 1$.

Радиус $R_2$ равен максимальному расстоянию точек верхнего параллелепипеда от оси вращения $AA_2$. Это расстояние до вершины $C_2$, которая имеет координаты $(2, 1, 2)$. Радиус $R_2 = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.

Найти:

Площадь полной поверхности фигуры вращения $S_{пов}$.

Решение:

Площадь поверхности полученной фигуры состоит из пяти частей:

1. Площадь нижнего основания (круг радиуса $R_1$):

$S_{нижн} = \pi R_1^2 = \pi (2\sqrt{2})^2 = 8\pi$.

2. Площадь боковой поверхности нижнего цилиндра:

$S_{бок1} = 2\pi R_1 h_1 = 2\pi (2\sqrt{2}) \cdot 1 = 4\sqrt{2}\pi$.

3. Площадь верхнего основания (круг радиуса $R_2$):

$S_{верхн} = \pi R_2^2 = \pi (\sqrt{5})^2 = 5\pi$.

4. Площадь боковой поверхности верхнего цилиндра:

$S_{бок2} = 2\pi R_2 h_2 = 2\pi \sqrt{5} \cdot 1 = 2\sqrt{5}\pi$.

5. Площадь кольца между двумя цилиндрами (разность площадей верхнего основания нижнего цилиндра и нижнего основания верхнего цилиндра):

$S_{кольца} = \pi R_1^2 - \pi R_2^2 = 8\pi - 5\pi = 3\pi$.

Полная площадь поверхности равна сумме площадей этих частей:

$S_{пов} = S_{нижн} + S_{бок1} + S_{верхн} + S_{бок2} + S_{кольца}$

$S_{пов} = 8\pi + 4\sqrt{2}\pi + 5\pi + 2\sqrt{5}\pi + 3\pi$

$S_{пов} = (8 + 5 + 3)\pi + 4\sqrt{2}\pi + 2\sqrt{5}\pi$

$S_{пов} = 16\pi + 4\sqrt{2}\pi + 2\sqrt{5}\pi = (16 + 4\sqrt{2} + 2\sqrt{5})\pi$

Ответ: При вращении многогранника получится фигура, состоящая из двух соосных цилиндров, стоящих друг на друге. Нижний цилиндр имеет высоту 1 и радиус $2\sqrt{2}$, а верхний - высоту 1 и радиус $\sqrt{5}$. Площадь поверхности этой фигуры равна $(16 + 4\sqrt{2} + 2\sqrt{5})\pi$.