Номер 12.20, страница 80 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.20. Какая фигура получается вращением многоугольника $ABCDEF$, изображенного на рисунке 12.16, соседние стороны которого образуют прямые углы, вокруг прямой $AF$? Найдите площадь поверхности этой фигуры.

Рис. 12.16

Какая фигура получается вращением многоугольника ABCDEF, изображенного на рисунке 12.16, соседние стороны которого образуют прямые углы, вокруг прямой AF?

При вращении многоугольника ABCDEF вокруг прямой AF, которая является осью вращения, получается тело вращения. Это тело можно представить как два соосных цилиндра, поставленных друг на друга. Нижний цилиндр образован вращением прямоугольника со сторонами $FE=2$ и $DE=1$. Его радиус основания равен $R=2$, а высота $h_1=1$. Верхний цилиндр образован вращением прямоугольника со сторонами $AB=1$ и $BC=1$. Его радиус основания равен $r=1$, а высота $h_2=1$. Основание верхнего цилиндра лежит на верхнем основании нижнего цилиндра, и их центры совпадают.

Ответ: Фигура, получающаяся вращением, представляет собой тело, состоящее из двух соосных цилиндров, поставленных друг на друга: нижний цилиндр с радиусом 2 и высотой 1, и верхний цилиндр с радиусом 1 и высотой 1.

Найдите площадь поверхности этой фигуры.

Дано:

Многоугольник ABCDEF

Длины сторон:

$AB = 1$

$BC = 1$

$CD = 1$

$DE = 1$

$EF = 2$

$AF = 2$

Ось вращения: прямая AF.

Найти:

Площадь поверхности тела вращения $S_{пов}$.

Решение:

Площадь поверхности полученного тела вращения $S_{пов}$ является суммой площадей поверхностей, образованных вращением отрезков контура многоугольника вокруг оси AF. Отрезок AF лежит на оси вращения и не образует поверхности.

1. Поверхность, образованная вращением отрезка AB. Это верхнее основание фигуры — круг радиусом $r_1 = AB = 1$. Его площадь:

$S_1 = \pi r_1^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$.

2. Поверхность, образованная вращением отрезка BC. Это боковая поверхность верхнего цилиндра с радиусом $r_1 = 1$ и высотой $h_1 = BC = 1$. Её площадь:

$S_2 = 2\pi r_1 h_1 = 2\pi \cdot 1 \cdot 1 = 2\pi$.

3. Поверхность, образованная вращением отрезка CD. Это кольцо, соединяющее два цилиндра. Внешний радиус кольца равен расстоянию от точки D до оси AF, то есть $r_2 = 2$. Внутренний радиус равен расстоянию от точки C до оси, то есть $r_1 = 1$. Площадь кольца:

$S_3 = \pi (r_2^2 - r_1^2) = \pi (2^2 - 1^2) = \pi(4 - 1) = 3\pi$.

4. Поверхность, образованная вращением отрезка DE. Это боковая поверхность нижнего цилиндра с радиусом $r_2 = 2$ и высотой $h_2 = DE = 1$. Её площадь:

$S_4 = 2\pi r_2 h_2 = 2\pi \cdot 2 \cdot 1 = 4\pi$.

5. Поверхность, образованная вращением отрезка EF. Это нижнее основание фигуры — круг радиусом $r_2 = EF = 2$. Его площадь:

$S_5 = \pi r_2^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$.

Суммарная площадь поверхности равна сумме площадей всех этих частей:

$S_{пов} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 = \pi + 2\pi + 3\pi + 4\pi + 4\pi = 14\pi$.

Ответ: $14\pi$.