Номер 12.22, страница 80 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.22. Какая фигура получается вращением прямоугольника ABCD, изображенного на рисунке 12.18, вокруг прямой a, параллельной стороне этого прямоугольника? Найдите площадь поверхности этой фигуры.

Рис. 12.18

Какая фигура получается вращением прямоугольника ABCD, изображенного на рисунке 12.18, вокруг прямой a, параллельной стороне этого прямоугольника?

При вращении прямоугольника ABCD вокруг прямой a, которая параллельна его стороне AD, образуется тело вращения. Это тело представляет собой полый цилиндр (также известный как цилиндрическая оболочка или труба).

Внешняя цилиндрическая поверхность образуется вращением стороны BC, а внутренняя — вращением стороны AD. Верхнее и нижнее основания представляют собой кольца, образованные вращением сторон CD и AB соответственно.

Ответ: Полый цилиндр.

Найдите площадь поверхности этой фигуры.

Дано:
Прямоугольник ABCD
Высота прямоугольника $h = AD = BC = 2$
Ширина прямоугольника $w = AB = CD = 1$
Расстояние от оси вращения a до ближайшей стороны AD равно 1.

Найти:
Площадь полной поверхности фигуры вращения $S$.

Решение:

Площадь полной поверхности полого цилиндра складывается из площади боковой поверхности внешнего цилиндра, площади боковой поверхности внутреннего цилиндра и площади двух кольцевых оснований.

1. Определим радиусы внешнего и внутреннего цилиндров. Высота обоих цилиндров равна высоте прямоугольника $h=2$.

Радиус внутреннего цилиндра, $r_1$, равен расстоянию от оси вращения a до стороны AD:

$r_1 = 1$

Радиус внешнего цилиндра, $r_2$, равен расстоянию от оси вращения a до стороны BC. Оно равно сумме расстояния до AD и ширины прямоугольника AB:

$r_2 = 1 + AB = 1 + 1 = 2$

2. Вычислим площадь боковой поверхности внешнего цилиндра ($S_{бок.внешн}$).

$S_{бок.внешн} = 2 \pi r_2 h = 2 \pi \cdot 2 \cdot 2 = 8\pi$

3. Вычислим площадь боковой поверхности внутреннего цилиндра ($S_{бок.внутр}$).

$S_{бок.внутр} = 2 \pi r_1 h = 2 \pi \cdot 1 \cdot 2 = 4\pi$

4. Вычислим площадь двух кольцевых оснований ($S_{осн}$). Площадь одного кольца — это разность площадей внешнего и внутреннего кругов.

$S_{кольца} = \pi r_2^2 - \pi r_1^2 = \pi (2^2 - 1^2) = \pi (4 - 1) = 3\pi$

Так как оснований два (верхнее и нижнее), их общая площадь:

$S_{осн} = 2 \cdot S_{кольца} = 2 \cdot 3\pi = 6\pi$

5. Сложим все площади, чтобы найти полную площадь поверхности фигуры.

$S = S_{бок.внешн} + S_{бок.внутр} + S_{осн} = 8\pi + 4\pi + 6\pi = 18\pi$

Ответ: $18\pi$.