Вопрос?, страница 83 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Как Вы думаете, можно ли получить конус вращением не прямоугольного и не равнобедренного треугольника?

Нет, получить конус (в строгом геометрическом смысле) вращением треугольника, который не является ни прямоугольным, ни равнобедренным, невозможно. Далее следует подробное объяснение этого утверждения.

Определение конуса как тела вращения

Тело вращения образуется при вращении плоской фигуры вокруг оси, лежащей в той же плоскости. Конус (точнее, прямой круговой конус) является телом вращения, которое традиционно получают двумя способами:

1. Вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. В этом случае второй катет образует основание конуса, а гипотенуза — его боковую поверхность (образующую).

2. Вращением равнобедренного треугольника вокруг его оси симметрии (высоты, проведенной к основанию). В этом случае половина основания треугольника становится радиусом основания конуса, а боковая сторона — образующей.

В обоих этих случаях, которые исключены условием задачи, получается тело с одной вершиной, одним плоским круглым основанием и одной конической боковой поверхностью, что и является определением конуса.

Анализ вращения разностороннего непрямоугольного треугольника

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$, который не является ни прямоугольным, ни равнобедренным. Чтобы в результате вращения получить конус, итоговое тело должно соответствовать его геометрическому определению.

Проанализируем основной случай — вращение треугольника вокруг одной из его сторон.

Пусть осью вращения является прямая, содержащая сторону $AC$. Вершина $B$ при вращении описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси $AC$. Радиус этой окружности равен длине высоты $BH$, проведенной из вершины $B$ к прямой $AC$.

• Если треугольник $ABC$ — остроугольный. В этом случае основание высоты $H$ лежит на отрезке $AC$. Тело вращения будет состоять из двух разных конусов (поскольку треугольник разносторонний, то $AH \neq CH$), соединенных общим основанием (окружностью, которую описала точка $B$). Вершинами этих конусов будут точки $A$ и $C$. Полученное тело не является одним конусом.

• Если треугольник $ABC$ — тупоугольный (например, с тупым углом при вершине $A$). В этом случае основание высоты $H$ будет лежать на продолжении стороны $AC$ за точку $A$. Тело вращения получается путем вычитания из объема конуса, образованного вращением прямоугольного треугольника $BHC$, другого конуса, образованного вращением треугольника $BHA$. У этих конусов общая ось и плоскость основания, но разные вершины ($C$ и $A$). Результирующее тело не является конусом, так как его граница состоит из боковой поверхности большего конуса и боковой поверхности меньшего конуса (которая образует внутри тела "воронку"). Эта форма не соответствует определению простого конуса.

Единственный случай, когда при вращении вокруг стороны $AC$ получается один конус, — это когда один из прилежащих углов ($A$ или $C$) является прямым. Например, если $\angle C = 90^\circ$, то "второй" конус с вершиной $C$ вырождается в плоский круг, и мы получаем единый конус. Но это означает, что треугольник — прямоугольный, что противоречит условию задачи.

Рассмотрение других осей вращения (например, проходящих через вершину, но не через сторону) также приводит к более сложным телам или требует, чтобы треугольник был равнобедренным для формирования конуса, что также исключено условием.

Ответ: Нет, невозможно получить конус вращением треугольника, который не является ни прямоугольным, ни равнобедренным.