Номер 13.4, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.4. Какая фигура получается вращением равнобедренного треугольника вокруг прямой, содержащей высоту, опущенную на основание этого треугольника (рис. 13.5)?

Рис. 13.5

Решение

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AC = BC$, а $AB$ является основанием. Осью вращения является прямая $a$, содержащая высоту, опущенную из вершины $C$ на основание $AB$. Обозначим точку пересечения высоты с основанием как $H$. Таким образом, осью вращения является прямая, содержащая отрезок $CH$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и осью симметрии. Это означает, что высота $CH$ делит исходный треугольник $ABC$ на два равных прямоугольных треугольника: $\triangle AHC$ и $\triangle BHC$.

Поскольку треугольник $ABC$ симметричен относительно оси вращения $CH$, для определения получаемой фигуры достаточно рассмотреть вращение одной из его половин, например, прямоугольного треугольника $\triangle AHC$ вокруг катета $CH$.

При вращении прямоугольного треугольника $\triangle AHC$ вокруг прямой, содержащей его катет $CH$, происходит следующее:

- Катет $CH$ лежит на оси вращения, поэтому он образует высоту тела вращения.

- Катет $AH$, перпендикулярный оси вращения, при полном обороте описывает круг. Этот круг является основанием тела вращения, а его радиус равен длине катета $AH$.

- Гипотенуза $AC$ при вращении описывает боковую поверхность тела вращения. Длина гипотенузы $AC$ является образующей этой поверхности.

Фигура, ограниченная кругом в основании и конической поверхностью, боковая поверхность которой образована вращением гипотенузы, называется конусом.

Таким образом, вращение равнобедренного треугольника вокруг высоты, опущенной на основание, образует конус.

Ответ: Конус.