Номер 13.7, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 13. Конус и его элементы. Развертка, площадь боковой и полной поверхности конуса. Глава III. Тела вращения и их элементы - номер 13.7, страница 84.

Условие.

13.7. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник со стороной 10 см. Найдите:

а) радиус основания;

б) высоту конуса.

Решение 2 (rus).

Дано:

Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник.

Сторона треугольника, $a = 10$ см.

Перевод в СИ:

$a = 0.1$ м.

Найти:

а) радиус основания конуса ($r$)

б) высоту конуса ($h$)

Решение:

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, образованный двумя образующими ($l$) и диаметром основания ($d$). По условию задачи, этот треугольник является равносторонним со стороной $a = 10$ см. Это означает, что все его стороны равны.

Следовательно, образующая конуса равна стороне треугольника, и диаметр основания конуса также равен стороне треугольника:

$l = a = 10$ см

$d = a = 10$ см

а) радиус основания

Радиус основания ($r$) конуса равен половине его диаметра ($d$).

$r = \frac{d}{2}$

Подставим значение диаметра:

$r = \frac{10 \text{ см}}{2} = 5 \text{ см}$

Ответ: 5 см.

б) высоту конуса

Высота конуса ($h$) совпадает с высотой равностороннего треугольника, который является осевым сечением. Высота ($h$), радиус ($r$) и образующая ($l$) конуса образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой, а высота и радиус — катетами. Применим теорему Пифагора:

$l^2 = r^2 + h^2$

Отсюда выразим высоту $h$:

$h^2 = l^2 - r^2$

$h = \sqrt{l^2 - r^2}$

Подставим известные значения $l = 10$ см и $r = 5$ см:

$h = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75}$

Упростим полученное значение:

$h = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \text{ см}$

Ответ: $5\sqrt{3}$ см.