Номер 13.12, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.12. На листе бумаги в клетку изобразите конус, аналогичный данному на рисунке 13.4. Изобразите его сечение плоскостью, параллельной оси этого конуса.

Решение

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько последовательных шагов по построению на листе бумаги в клетку. Задача состоит из двух частей: изображение конуса и построение его сечения плоскостью, параллельной оси конуса.

1. Построение конуса

а) Начнем с основания конуса. В трехмерном пространстве основание конуса — это круг, но при изображении на плоскости в перспективе он выглядит как эллипс. Нарисуйте эллипс. Для удобства на бумаге в клетку можно выбрать центральную точку, отступить от нее, например, на 6 клеток влево и вправо (это будут концы большой оси эллипса) и на 2 клетки вверх и вниз (концы малой оси). Соедините эти четыре точки плавной кривой. Ту часть эллипса, которая является невидимой (дальняя от нас), следует изобразить пунктирной линией.

б) Из центра эллипса проведите вверх перпендикулярный отрезок. Это будет ось конуса.

в) На этой оси отметьте точку — вершину конуса. Высоту можно выбрать произвольно, например, 8-10 клеток от основания.

г) Соедините вершину конуса с крайними точками большой (горизонтальной) оси эллипса прямыми линиями. Эти линии являются крайними видимыми образующими конуса и задают его контур.

2. Построение сечения плоскостью, параллельной оси

а) Секущая плоскость параллельна оси конуса. В нашем построении ось является вертикальной, следовательно, секущая плоскость также будет "вертикальной". Такая плоскость пересечет основание конуса по прямой линии — хорде.

б) Выберем местоположение секущей плоскости. Она должна находиться между осью конуса и его краем. На эллипсе-основании проведите хорду, параллельную малой оси эллипса. Пусть она находится на расстоянии 4 клеток от центра.

в) Эта плоскость пересекает не только основание, но и боковую поверхность конуса. Линией пересечения боковой поверхности конуса и плоскости, параллельной его оси, является гипербола.

г) Чтобы изобразить сечение, нужно соединить концы хорды, полученной в основании, плавной выпуклой кривой, которая лежит на поверхности конуса. Эта кривая и есть дуга гиперболы.

Итоговое изображение конуса и его сечения представлено ниже. Заштрихованная область — это и есть искомое сечение.

Ответ:

Для построения на листе в клетку сначала изображается конус: рисуется эллипс в основании, из его центра проводится ось, на которой отмечается вершина, после чего вершина соединяется с краями эллипса. Сечение конуса плоскостью, параллельной его оси (и не содержащей ее), является фигурой, ограниченной снизу хордой основания конуса, а сверху — дугой гиперболы.