Номер 13.19, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.19. Какая фигура получится при вращении правильной четырехугольной пирамиды вокруг прямой, содержащей ее высоту (рис. 13.12)?

Рис. 13.12

Решение

Фигура, которая получится при вращении правильной четырехугольной пирамиды вокруг прямой, содержащей ее высоту, является конусом. Рассмотрим процесс формирования этой фигуры по частям.

1. Ось вращения. По условию, это прямая, содержащая высоту пирамиды. В правильной пирамиде высота проходит через вершину пирамиды (на рисунке точка $S$) и центр основания (точка $O$ — центр квадрата $ABCD$).

2. Вращение вершины. Вершина пирамиды $S$ лежит на оси вращения. Любая точка, лежащая на оси вращения, при вращении вокруг этой оси остается неподвижной. Следовательно, вершина $S$ останется на месте и станет вершиной итоговой фигуры вращения.

3. Вращение основания. Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат $ABCD$. При вращении квадрата вокруг его центра $O$ (который лежит на оси вращения) все его точки описывают окружности. Самые удаленные от центра точки — это вершины $A, B, C, D$. Они описывают наибольшую окружность — это окружность, описанная около квадрата. Вся площадь квадрата при вращении заполнит собой круг. Этот круг и будет основанием фигуры вращения. Его радиус равен половине диагонали квадрата.

4. Вращение боковой поверхности. Боковая поверхность пирамиды образована боковыми ребрами ($SA, SB, SC, SD$) и гранями. Рассмотрим любое боковое ребро, например, $SA$. Один его конец, точка $S$, неподвижен. Другой конец, точка $A$, движется по окружности в плоскости основания. Отрезок, вращающийся вокруг оси, проходящей через один из его концов, описывает коническую поверхность. Поскольку все боковые ребра правильной пирамиды равны, они все вместе образуют единую коническую поверхность.

Соединив результаты, мы видим, что фигура вращения имеет вершину $S$, круглое основание (образованное вращением квадрата $ABCD$) и коническую боковую поверхность (образованную вращением боковых ребер). Такая фигура является конусом.

Ответ: При вращении правильной четырехугольной пирамиды вокруг прямой, содержащей ее высоту, получится конус. Вершина этого конуса совпадает с вершиной пирамиды, его высота равна высоте пирамиды, а радиус его основания равен радиусу окружности, описанной около квадрата, который является основанием пирамиды. Образующая конуса будет равна боковому ребру пирамиды.