Номер 13.23, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.23. Какая фигура получается вращением тупоугольного треугольника $ABC$ (рис. 13.14) вокруг прямой, содержащей высоту $AH$? Найдите площадь поверхности этой фигуры.

$a$, $A$, $H$, $C$, $B$, $1$, $1$, $3$, Рис. 13.14

Какая фигура получается вращением тупоугольного треугольника ABC (рис. 13.14) вокруг прямой, содержащей высоту AH?
При вращении тупоугольного треугольника $ABC$ вокруг прямой, содержащей его внешнюю высоту $AH$, образуется тело вращения. Так как высота $AH$ лежит вне треугольника, фигуру вращения можно представить как разность двух тел.
Вращение прямоугольного треугольника $AHB$ вокруг катета $AH$ образует большой конус с вершиной $A$, высотой $AH$ и радиусом основания $HB$.
Вращение прямоугольного треугольника $AHC$ вокруг катета $AH$ образует меньший конус с той же вершиной $A$, высотой $AH$ и радиусом основания $HC$.
Поскольку площадь треугольника $ABC$ равна разности площадей треугольников $AHB$ и $AHC$, то тело вращения, полученное вращением треугольника $ABC$, представляет собой тело, полученное вычитанием из большого конуса малого конуса. Оба конуса имеют общую вершину и их оси совпадают.
Поверхность получившейся фигуры состоит из трех частей: боковой поверхности большого конуса, боковой поверхности малого конуса и основания, которое представляет собой кольцо (разность площадей кругов-оснований двух конусов).
Ответ: Фигура, полученная вращением, представляет собой большой конус, из которого удален меньший конус с общей вершиной и соосной высотой.

Найдите площадь поверхности этой фигуры.
Дано:
Треугольник $ABC$ — тупоугольный.
$AH$ — высота, ось вращения.
$AC = 3$
$HC = 1$
$CB = 1$
Найти:
$S_{пов}$ — площадь поверхности фигуры вращения.
Решение:
Площадь поверхности тела вращения $S_{пов}$ складывается из площади боковой поверхности большего конуса ($S_{бок1}$), площади боковой поверхности меньшего конуса ($S_{бок2}$) и площади основания, которое является кольцом ($S_{осн}$).
$S_{пов} = S_{бок1} + S_{бок2} + S_{осн}$
1. Найдем радиусы оснований конусов. Ось вращения — $AH$.
Радиус основания большего конуса: $R_1 = HB = HC + CB = 1 + 1 = 2$.
Радиус основания меньшего конуса: $R_2 = HC = 1$.
2. Найдем высоту конусов $h = AH$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. По теореме Пифагора:
$AH^2 + HC^2 = AC^2$
$h^2 + 1^2 = 3^2$
$h^2 = 9 - 1 = 8$
$h = AH = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
3. Найдем образующие конусов.
Образующая меньшего конуса дана: $L_2 = AC = 3$.
Образующую большего конуса $L_1 = AB$ найдем из прямоугольного треугольника $AHB$ по теореме Пифагора:
$AB^2 = AH^2 + HB^2$
$L_1^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2^2 = 8 + 4 = 12$
$L_1 = AB = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
4. Вычислим площади поверхностей.
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$.
$S_{бок1} = \pi R_1 L_1 = \pi \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\pi\sqrt{3}$.
$S_{бок2} = \pi R_2 L_2 = \pi \cdot 1 \cdot 3 = 3\pi$.
Площадь основания (кольца) равна разности площадей оснований конусов:
$S_{осн} = \pi R_1^2 - \pi R_2^2 = \pi (2^2 - 1^2) = \pi (4 - 1) = 3\pi$.
5. Найдем полную площадь поверхности фигуры вращения:
$S_{пов} = S_{бок1} + S_{бок2} + S_{осн} = 4\pi\sqrt{3} + 3\pi + 3\pi = 6\pi + 4\pi\sqrt{3}$.
Можно вынести общий множитель: $S_{пов} = 2\pi(3 + 2\sqrt{3})$.
Ответ: $6\pi + 4\pi\sqrt{3}$.