Номер 13.29, страница 87 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.29. Крыша силосной башни имеет форму конуса. Высота крыши – 2 м. Диаметр основания башни – 6 м. Сколько листов кровельного железа потребовалось для покрытия крыши, если лист имеет размеры 0,7 x 1,4, а на швы идет 10% требующегося железа? (Примите $\pi \approx 3$).

Рис. 13.16

Дано:

Форма крыши - конус

Высота конуса $h = 2$ м

Диаметр основания конуса $d = 6$ м

Размеры листа железа: $0,7$ м $\times$ $1,4$ м

Расход на швы = $10\%$ от требующегося железа

$\pi \approx 3$

Найти:

Количество листов кровельного железа $N$

Решение:

1. Первым шагом найдем площадь поверхности, которую необходимо покрыть. Так как крыша имеет форму конуса, нам нужно вычислить площадь её боковой поверхности. Формула площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ - радиус основания, а $l$ - длина образующей.

2. Вычислим радиус основания конуса ($r$). Диаметр основания $d$ равен 6 м, следовательно, радиус равен его половине:

$r = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ м}$.

3. Далее найдем длину образующей конуса ($l$). Высота $h$, радиус $r$ и образующая $l$ формируют прямоугольный треугольник, в котором $l$ является гипотенузой. Применяя теорему Пифагора, получаем:

$l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \text{ м}$.

4. Теперь можно рассчитать площадь боковой поверхности крыши ($S_{крыши}$), используя заданное в условии приближение $\pi \approx 3$:

$S_{крыши} = \pi r l = 3 \times 3 \times \sqrt{13} = 9\sqrt{13} \text{ м}^2$.

5. Учтем, что на швы уходит 10% требующегося железа. Следовательно, общая площадь железа ($S_{общ}$), которую необходимо приобрести, составляет 110% от площади крыши:

$S_{общ} = S_{крыши} \times (1 + 0,1) = 1,1 \times S_{крыши} = 1,1 \times 9\sqrt{13} = 9,9\sqrt{13} \text{ м}^2$.

6. Рассчитаем площадь одного листа кровельного железа ($S_{листа}$):

$S_{листа} = 0,7 \text{ м} \times 1,4 \text{ м} = 0,98 \text{ м}^2$.

7. Наконец, определим необходимое количество листов ($N$), разделив общую требуемую площадь железа на площадь одного листа:

$N = \frac{S_{общ}}{S_{листа}} = \frac{9,9\sqrt{13}}{0,98}$.

Для получения численного ответа, используем приближенное значение $\sqrt{13} \approx 3,606$:

$N \approx \frac{9,9 \times 3,606}{0,98} \approx \frac{35,6994}{0,98} \approx 36,428$.

Поскольку листы железа продаются целиком, полученное значение необходимо округлить в большую сторону до ближайшего целого числа.

Таким образом, потребуется 37 листов.

Ответ: 37 листов.