Номер 13.22, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.22. Найдите площадь поверхности конуса, получающегося вращением правильной шестиугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см, вокруг прямой, содержащей ее высоту (рис. 13.13).

Рис. 13.13

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида.
Сторона основания, $a = 1$ см.
Боковое ребро, $s = 2$ см.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$s = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Площадь поверхности конуса, $S_{конуса}$.

Решение:

При вращении правильной шестиугольной пирамиды вокруг прямой, содержащей ее высоту, образуется конус.

1. Радиус основания конуса ($r$) равен радиусу окружности, описанной около основания пирамиды. Основанием пирамиды является правильный шестиугольник. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен его стороне. Следовательно, радиус основания конуса равен стороне основания пирамиды: $r = a = 1$ см.

2. Образующая конуса ($l$) равна боковому ребру пирамиды, так как вершины основания пирамиды при вращении описывают окружность основания конуса, а вершина пирамиды является вершиной конуса. Следовательно, образующая конуса равна: $l = s = 2$ см.

3. Площадь полной поверхности конуса вычисляется как сумма площади основания и площади боковой поверхности: $S_{конуса} = S_{осн} + S_{бок}$

Площадь основания конуса (круга) находится по формуле: $S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot (1 \text{ см})^2 = \pi \text{ см}^2$.

Площадь боковой поверхности конуса находится по формуле: $S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 1 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 2\pi \text{ см}^2$.

Теперь найдем площадь полной поверхности конуса: $S_{конуса} = \pi \text{ см}^2 + 2\pi \text{ см}^2 = 3\pi \text{ см}^2$.

Ответ: $3\pi \text{ см}^2$.