Номер 13.20, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.20. Найдите площадь поверхности конуса, получающегося вращением правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой, содержащей ее высоту (рис. 13.12).

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида, у которой все ребра равны.

Длина ребра $a = 1$ см.

Перевод в систему СИ:
$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Площадь полной поверхности конуса $S_{кон}$, полученного вращением пирамиды вокруг ее высоты.

Решение:

При вращении правильной четырехугольной пирамиды вокруг своей высоты образуется конус. Параметры этого конуса определяются параметрами пирамиды.

1. Образующая конуса $l$ равна боковому ребру пирамиды. По условию, все ребра пирамиды равны 1 см, следовательно, боковое ребро также равно 1 см.

$l = 1$ см.

2. Основанием конуса является окружность, описанная вокруг основания пирамиды. Радиус этой окружности $r$ равен расстоянию от центра основания пирамиды (квадрата) до его вершины. Это расстояние составляет половину диагонали квадрата.

Основанием пирамиды является квадрат со стороной $a = 1$ см. Найдем его диагональ $d$ по теореме Пифагора:

$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Подставляя $a = 1$ см, получаем:

$d = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$ см.

Радиус основания конуса $r$ равен половине диагонали:

$r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

3. Площадь полной поверхности конуса $S_{кон}$ состоит из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

$S_{кон} = S_{осн} + S_{бок}$

Площадь основания конуса (круга) вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi r^2$

$S_{осн} = \pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{2}{4} = \frac{\pi}{2}$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi r l$

$S_{бок} = \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{2}}{2}$ см$^2$.

4. Найдем полную площадь поверхности конуса:

$S_{кон} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi(1 + \sqrt{2})}{2}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{\pi(1 + \sqrt{2})}{2}$ см$^2$.