Номер 13.24, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.24. Какая фигура получится при вращении октаэдра вокруг прямой, соединяющей его противолежащие вершины (рис. 13.15). Найдите площадь ее поверхности, считая ребро октаэдра равным $1 \text{ см}$.

Рис. 13.15

Дано:

Правильный октаэдр

Ребро октаэдра, $a = 1$ см

В системе СИ:

$a = 0.01$ м

Найти:

1. Фигуру, полученную при вращении.

2. Площадь поверхности $S$ полученной фигуры.

Решение:

Правильный октаэдр можно представить как две одинаковые правильные четырехугольные пирамиды, соединенные своими основаниями. Ось вращения, проходящая через две противоположные вершины, является общей высотой этих пирамид. Основанием этих пирамид является квадрат, вершины которого — это остальные четыре вершины октаэдра.

При вращении октаэдра вокруг этой оси каждое боковое ребро (которое не лежит на оси) описывает боковую поверхность конуса. Образующая этого конуса равна ребру октаэдра, а основание конуса — это окружность, по которой движутся остальные четыре вершины октаэдра.

Следовательно, фигура, полученная при вращении октаэдра вокруг прямой, соединяющей его противолежащие вершины, представляет собой два одинаковых конуса, соединенных основаниями.

Площадь поверхности $S$ этой фигуры равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов:

$S = 2 \cdot S_{бок}$

Площадь боковой поверхности конуса находится по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $l$ — длина образующей, а $r$ — радиус основания.

В данном случае образующая $l$ равна ребру октаэдра: $l = a = 1$ см.

Радиус основания $r$ — это радиус окружности, описанной вокруг квадрата, который является общим основанием двух пирамид. Сторона этого квадрата равна ребру октаэдра $a$. Диагональ квадрата $d$ по теореме Пифагора равна $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Радиус $r$ равен половине диагонали:

$r = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Подставим значение $a = 1$ см:

$r = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности одного конуса:

$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{2}}{2}$ см$^2$.

Площадь поверхности всей фигуры вращения:

$S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot \frac{\pi\sqrt{2}}{2} = \pi\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: При вращении октаэдра получится фигура, состоящая из двух одинаковых конусов, соединенных основаниями. Площадь ее поверхности равна $\pi\sqrt{2}$ см$^2$.