Номер 13.28, страница 87 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.28. Осевое сечение конуса — правильный треугольник ABC со стороной 1 см. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности этого конуса из точки A в точку D — середину стороны BC (рис. 13.16).

Рис. 13.16

Дано:

Осевое сечение конуса — правильный треугольник $ABC$.

Сторона треугольника $AC = BC = AB = a = 1 \text{ см}$.

Точка $D$ — середина образующей $BC$.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Длину кратчайшего пути по поверхности конуса из точки $A$ в точку $D$.

Решение:

Кратчайший путь между двумя точками на боковой поверхности конуса — это длина отрезка прямой, соединяющего эти точки на развертке боковой поверхности конуса.

Развертка боковой поверхности конуса представляет собой сектор круга. Найдем параметры этого сектора.

Поскольку осевое сечение $ABC$ — правильный треугольник со стороной $a=1$ см, то образующая конуса $l$ равна стороне этого треугольника, а радиус основания $r$ равен половине основания треугольника.

Образующая конуса: $l = AC = BC = 1$ см.

Радиус основания конуса: $r = \frac{AB}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$ см.

Радиус сектора развертки равен образующей конуса: $R_{сект} = l = 1$ см.

Длина дуги сектора развертки равна длине окружности основания конуса: $L_{дуги} = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 0.5 = \pi$ см.

Угол сектора развертки $\alpha$ (в радианах) находится по формуле $L_{дуги} = \alpha \cdot R_{сект}$.

$\alpha = \frac{L_{дуги}}{R_{сект}} = \frac{\pi}{1} = \pi$ радиан. Это соответствует $180^\circ$. Таким образом, развертка боковой поверхности конуса является полукругом.

На развертке вершина конуса $C$ является центром полукруга. Точка $A$ лежит на одном из краев развертки (на радиусе). Образующая $BC$, на которой лежит точка $D$, на развертке будет расположена под углом к образующей $AC$. Так как точки $A$ и $B$ в основании конуса диаметрально противоположны (они являются концами диаметра в осевом сечении), то на развертке угол между образующими $AC$ и $BC$ будет равен половине угла всей развертки.

Угол на развертке $\angle{ACD} = \frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{2}$ радиан.

Искомый кратчайший путь — это длина отрезка $AD$ на развертке. Рассмотрим треугольник $ACD$ на развертке.

Сторона $AC$ равна радиусу сектора, т.е. $AC = l = 1$ см.

Точка $D$ — середина образующей $BC$, следовательно, на развертке точка $D$ лежит на отрезке $BC$ и делит его пополам. Длина отрезка $CD$ равна: $CD = \frac{BC}{2} = \frac{l}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$ см.

Угол между сторонами $AC$ и $CD$ в треугольнике $ACD$ на развертке равен $\angle{ACD} = \frac{\pi}{2}$ ($90^\circ$).

Следовательно, треугольник $ACD$ на развертке является прямоугольным. Искомая длина $AD$ является его гипотенузой.

По теореме Пифагора:

$AD^2 = AC^2 + CD^2$

$AD^2 = 1^2 + (0.5)^2 = 1 + 0.25 = 1.25$

$AD = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{125}{100}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

Ответ: кратчайший путь равен $\frac{\sqrt{5}}{2}$ см.