Задания, страница 88 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите, что осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция.

Для доказательства рассмотрим определения усеченного конуса и осевого сечения. Усеченный конус — это тело, полученное вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Также его можно определить как часть полного конуса, заключенную между его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Осевое сечение — это сечение тела вращения плоскостью, проходящей через его ось.

Пусть дан усеченный конус. Проведем через его ось секущую плоскость. Эта плоскость пересечет основания конуса, которые являются кругами, по их диаметрам. Обозначим получившиеся отрезки $AD$ и $BC$. Поскольку основания конуса лежат в параллельных плоскостях, то и диаметры $AD$ и $BC$ параллельны друг другу ($AD \parallel BC$).

Кроме того, секущая плоскость пересечет боковую поверхность усеченного конуса по двум образующим. Образующая усеченного конуса — это отрезок, соединяющий соответствующие точки на окружностях оснований. Обозначим эти образующие $AB$ и $CD$.

В результате в сечении мы получили четырехугольник $ABCD$. Так как две его стороны ($AD$ и $BC$) параллельны, а две другие ($AB$ и $CD$) не параллельны (они являются частями образующих полного конуса и пересеклись бы в его вершине), то по определению четырехугольник $ABCD$ является трапецией.

Теперь докажем, что эта трапеция является равнобедренной. Все образующие усеченного конуса равны между собой по определению этого тела вращения. Следовательно, боковые стороны нашей трапеции $AB$ и $CD$ равны: $AB = CD$.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, является равнобедренной. Таким образом, осевое сечение усеченного конуса — это равнобедренная трапеция. Что и требовалось доказать.

Ответ: Осевое сечение усеченного конуса является равнобедренной трапецией, потому что его основаниями являются параллельные друг другу диаметры оснований конуса, а боковыми сторонами — равные по длине образующие конуса.