Вопросы, страница 89 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какая фигура называется усеченным конусом?

2. Что называется основаниями усеченного конуса?

3. Что называется высотой усеченного конуса?

4. Что называется осью усеченного конуса?

5. Что называется осевым сечением усеченного конуса?

6. Какая фигура называется разверткой усеченного конуса?

7. Что называется площадью поверхности усеченного конуса?

8. Что называется площадью боковой поверхности усеченного конуса?

9. Выведите формулу площади боковой поверхности усеченного конуса.

10. Выведите формулу площади полной поверхности усеченного конуса.

Какая фигура называется усеченным конусом?

Усеченный конус — это геометрическое тело, которое является частью полного конуса и заключено между его основанием и секущей плоскостью, параллельной этому основанию. Также усеченный конус можно получить, вращая прямоугольную трапецию вокруг её боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Ответ: Фигура, являющаяся частью конуса, расположенной между его основанием и плоскостью, параллельной основанию.

2. Что называется основаниями усеченного конуса?

Основаниями усеченного конуса являются два круга, лежащие в параллельных плоскостях. Один из них — это основание исходного (полного) конуса, а второй — это сечение конуса плоскостью, параллельной основанию. Ответ: Два круга (основание исходного конуса и сечение), лежащие в параллельных плоскостях.

3. Что называется высотой усеченного конуса?

Высотой усеченного конуса называется отрезок, перпендикулярный обоим основаниям, концы которого лежат в плоскостях оснований. Чаще всего рассматривают отрезок, соединяющий центры оснований. Длина этого отрезка и есть высота. Ответ: Расстояние между плоскостями его оснований.

4. Что называется осью усеченного конуса?

Осью усеченного конуса называется прямая, которая проходит через центры его верхнего и нижнего оснований. Эта ось совпадает с осью исходного полного конуса. Ответ: Прямая, проходящая через центры оснований усеченного конуса.

5. Что называется осевым сечением усеченного конуса?

Осевым сечением усеченного конуса называется сечение, которое проходит через его ось. Такое сечение всегда представляет собой равнобедренную трапецию, основаниями которой служат диаметры оснований усеченного конуса, а боковыми сторонами — его образующие. Ответ: Сечение усеченного конуса плоскостью, проходящей через его ось, имеющее форму равнобедренной трапеции.

6. Какая фигура называется разверткой усеченного конуса?

Разверткой усеченного конуса на плоскости является фигура, состоящая из двух кругов (оснований) и боковой поверхности, которая представляет собой часть кругового кольца. Ответ: Фигура, состоящая из двух кругов и части кругового кольца.

7. Что называется площадью поверхности усеченного конуса?

Площадью полной поверхности усеченного конуса называется сумма площадей его двух оснований (верхнего и нижнего) и площади его боковой поверхности. Ответ: Сумма площадей боковой поверхности и двух оснований.

8. Что называется площадью боковой поверхности усеченного конуса?

Площадью боковой поверхности усеченного конуса называется площадь его криволинейной поверхности, которая соединяет окружности оснований. Ответ: Площадь его криволинейной поверхности, без учета площадей оснований.

9. Выведите формулу площади боковой поверхности усеченного конуса.

Решение

Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно найти как разность площадей боковых поверхностей двух конусов: большого (из которого получен усеченный конус) и малого (который был отсечен). Пусть $R$ — радиус большего основания, $r$ — радиус меньшего основания, $l$ — образующая усеченного конуса. Пусть $L_1$ и $L_2$ — образующие большого и малого конусов соответственно. Тогда $l = L_1 - L_2$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S = \pi \cdot (\text{радиус}) \cdot (\text{образующая})$.

Следовательно, площадь боковой поверхности усеченного конуса $S_{бок}$ равна:

$S_{бок} = \pi R L_1 - \pi r L_2$

Рассмотрим осевое сечение. Оно состоит из двух подобных треугольников (по свойству сечения конуса плоскостью, параллельной основанию). Из подобия следует: $\frac{L_2}{L_1} = \frac{r}{R}$, откуда $L_2 = L_1 \frac{r}{R}$.

Подставим это в выражение для $l$: $l = L_1 - L_1 \frac{r}{R} = L_1 \frac{R-r}{R}$. Отсюда можно выразить $L_1 = l \frac{R}{R-r}$.

Аналогично, $L_2 = L_1 - l = l \frac{R}{R-r} - l = l(\frac{R - (R-r)}{R-r}) = l \frac{r}{R-r}$.

Теперь подставим выражения для $L_1$ и $L_2$ в формулу площади:

$S_{бок} = \pi R \left(l \frac{R}{R-r}\right) - \pi r \left(l \frac{r}{R-r}\right) = \frac{\pi l}{R-r} (R^2 - r^2)$

Так как $R^2 - r^2 = (R-r)(R+r)$, формула упрощается:

$S_{бок} = \frac{\pi l (R-r)(R+r)}{R-r} = \pi l (R+r)$.

Ответ: $S_{бок} = \pi l (R+r)$, где $R$ и $r$ — радиусы оснований, а $l$ — образующая усеченного конуса.

10. Выведите формулу площади полной поверхности усеченного конуса.

Решение

Площадь полной поверхности усеченного конуса ($S_{полн}$) складывается из площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и площадей двух его оснований: большего ($S_{осн1}$) и меньшего ($S_{осн2}$).

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн1} + S_{осн2}$

Площадь большего основания, являющегося кругом радиуса $R$, равна $S_{осн1} = \pi R^2$.

Площадь меньшего основания, являющегося кругом радиуса $r$, равна $S_{осн2} = \pi r^2$.

Площадь боковой поверхности, как было выведено в предыдущем пункте, равна $S_{бок} = \pi l (R+r)$.

Суммируя все три компонента, получаем итоговую формулу:

$S_{полн} = \pi l (R+r) + \pi R^2 + \pi r^2$.

Эту формулу также можно записать как $S_{полн} = \pi (l(R+r) + R^2 + r^2)$.

Ответ: $S_{полн} = \pi l (R+r) + \pi R^2 + \pi r^2$, где $R$ и $r$ — радиусы оснований, а $l$ — образующая усеченного конуса.